🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Dik Açılı Çgende Yükseklik Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Dik Açılı Çgende Yükseklik Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir dik açılı ABC üçgeninde, A açısı dik açıdır. A köşesinden hipotenüs BC'ye indirilen dikme (yükseklik) AD'dir.
BD uzunluğu \( 4 \) cm ve DC uzunluğu \( 9 \) cm olduğuna göre, AD yüksekliğinin uzunluğu kaç cm'dir? 💡
BD uzunluğu \( 4 \) cm ve DC uzunluğu \( 9 \) cm olduğuna göre, AD yüksekliğinin uzunluğu kaç cm'dir? 💡
Çözüm:
Bu problemde Öklid'in Yükseklik Bağıntısı'nı kullanacağız.
Öklid'in yükseklik bağıntısı der ki: Bir dik üçgende hipotenüse indirilen yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir.
Yani, \( h^2 = p \cdot k \) formülünü uygulayacağız.
Öklid'in yükseklik bağıntısı der ki: Bir dik üçgende hipotenüse indirilen yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir.
Yani, \( h^2 = p \cdot k \) formülünü uygulayacağız.
- 👉 Verilenler: BD (\( p \)) \( = 4 \) cm, DC (\( k \)) \( = 9 \) cm.
- 👉 İstenen: AD (\( h \)) yüksekliğinin uzunluğu.
- ✅ Formülü uygulayalım:
\[ h^2 = BD \cdot DC \] \[ h^2 = 4 \cdot 9 \] \[ h^2 = 36 \] - ✅ Her iki tarafın karekökünü alarak \( h \) değerini buluruz:
\[ h = \sqrt{36} \] \[ h = 6 \]
Örnek 2:
ABC dik üçgeninde, A açısı \( 90^\circ \)dir. A noktasından hipotenüs BC'ye inen yükseklik AD'dir.
AD yüksekliği \( 8 \) cm ve BD uzunluğu \( 4 \) cm olduğuna göre, DC uzunluğu kaç cm'dir? 📏
AD yüksekliği \( 8 \) cm ve BD uzunluğu \( 4 \) cm olduğuna göre, DC uzunluğu kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
Yine Öklid'in Yükseklik Bağıntısı'nı kullanarak bu problemi çözebiliriz. Formülümüz: \( h^2 = p \cdot k \).
- 👉 Verilenler: AD (\( h \)) \( = 8 \) cm, BD (\( p \)) \( = 4 \) cm.
- 👉 İstenen: DC (\( k \)) uzunluğu.
- ✅ Formülü uygulayalım:
\[ h^2 = BD \cdot DC \] \[ 8^2 = 4 \cdot DC \] \[ 64 = 4 \cdot DC \] - ✅ DC'yi bulmak için her iki tarafı 4'e bölelim:
\[ DC = \frac{64}{4} \] \[ DC = 16 \]
Örnek 3:
Bir ABC dik üçgeninde, A köşesi dik açıdır ve AD, BC hipotenüsüne ait yüksekliktir.
BD uzunluğu \( 3 \) cm ve DC uzunluğu \( 9 \) cm olarak verilmiştir. AB kenarının uzunluğu kaç cm'dir? 🤔
BD uzunluğu \( 3 \) cm ve DC uzunluğu \( 9 \) cm olarak verilmiştir. AB kenarının uzunluğu kaç cm'dir? 🤔
Çözüm:
Bu soruda Öklid'in Dik Kenar Bağıntısı'nı kullanacağız.
Dik kenar bağıntısı der ki: Bir dik kenarın karesi, hipotenüs üzerinde kendine yakın olan parçası ile hipotenüsün tamamının çarpımına eşittir.
AB kenarı için bu formül \( AB^2 = BD \cdot BC \) şeklindedir.
Dik kenar bağıntısı der ki: Bir dik kenarın karesi, hipotenüs üzerinde kendine yakın olan parçası ile hipotenüsün tamamının çarpımına eşittir.
AB kenarı için bu formül \( AB^2 = BD \cdot BC \) şeklindedir.
- 👉 Verilenler: BD \( = 3 \) cm, DC \( = 9 \) cm.
- 👉 İstenen: AB kenarının uzunluğu.
- ✅ Öncelikle hipotenüs BC'nin tamamını bulalım:
\[ BC = BD + DC \] \[ BC = 3 + 9 \] \[ BC = 12 \text{ cm} \] - ✅ Şimdi AB kenarı için dik kenar bağıntısını uygulayalım:
\[ AB^2 = BD \cdot BC \] \[ AB^2 = 3 \cdot 12 \] \[ AB^2 = 36 \] - ✅ Her iki tarafın karekökünü alarak AB değerini buluruz:
\[ AB = \sqrt{36} \] \[ AB = 6 \]
Örnek 4:
ABC dik üçgeninde, A açısı dik açıdır ve AD, BC'ye dik olan yüksekliktir.
AB kenarının uzunluğu \( 6 \) cm, BD uzunluğu \( 4 \) cm olduğuna göre, DC uzunluğu kaç cm'dir? ✍️
AB kenarının uzunluğu \( 6 \) cm, BD uzunluğu \( 4 \) cm olduğuna göre, DC uzunluğu kaç cm'dir? ✍️
Çözüm:
Bu problemde Öklid'in Dik Kenar Bağıntısı'nı kullanarak DC uzunluğunu bulabiliriz.
Formülümüz \( AB^2 = BD \cdot BC \). Burada BC, \( BD + DC \) olarak yazılabilir.
Formülümüz \( AB^2 = BD \cdot BC \). Burada BC, \( BD + DC \) olarak yazılabilir.
- 👉 Verilenler: AB \( = 6 \) cm, BD \( = 4 \) cm.
- 👉 İstenen: DC uzunluğu.
- ✅ AB kenarı için dik kenar bağıntısını uygulayalım:
\[ AB^2 = BD \cdot (BD + DC) \] \[ 6^2 = 4 \cdot (4 + DC) \] \[ 36 = 4 \cdot (4 + DC) \] - ✅ Denklemi çözmek için her iki tarafı 4'e bölelim:
\[ \frac{36}{4} = 4 + DC \] \[ 9 = 4 + DC \] - ✅ DC'yi yalnız bırakalım:
\[ DC = 9 - 4 \] \[ DC = 5 \]
Örnek 5:
Bir ABC dik üçgeninde, A açısı dik açıdır. AB kenarı \( 9 \) cm ve AC kenarı \( 12 \) cm olarak verilmiştir.
Bu üçgenin hipotenüsüne ait yüksekliğinin uzunluğu kaç cm'dir? 📐
Bu üçgenin hipotenüsüne ait yüksekliğinin uzunluğu kaç cm'dir? 📐
Çözüm:
Bu problemde, dik üçgenin alan formülünden faydalanarak hipotenüse ait yüksekliği bulabiliriz.
Dik üçgenin alanı, dik kenarların çarpımının yarısı veya hipotenüs ile hipotenüse ait yüksekliğin çarpımının yarısı ile bulunur.
Yani, \( \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_a \) formülünü kullanacağız.
Dik üçgenin alanı, dik kenarların çarpımının yarısı veya hipotenüs ile hipotenüse ait yüksekliğin çarpımının yarısı ile bulunur.
Yani, \( \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_a \) formülünü kullanacağız.
- 👉 Verilenler: AB \( = 9 \) cm, AC \( = 12 \) cm.
- 👉 İstenen: Hipotenüse ait yükseklik (\( h_a \)).
- ✅ Öncelikle Pisagor Teoremi'ni kullanarak hipotenüs BC'nin uzunluğunu bulalım:
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \] \[ BC^2 = 9^2 + 12^2 \] \[ BC^2 = 81 + 144 \] \[ BC^2 = 225 \] \[ BC = \sqrt{225} \] \[ BC = 15 \text{ cm} \] - ✅ Şimdi alan formülünü kullanarak yüksekliği bulalım:
\[ AB \cdot AC = BC \cdot h_a \] \[ 9 \cdot 12 = 15 \cdot h_a \] \[ 108 = 15 \cdot h_a \] - ✅ \( h_a \) değerini bulmak için her iki tarafı 15'e bölelim:
\[ h_a = \frac{108}{15} \] \[ h_a = \frac{36}{5} \] \[ h_a = 7.2 \]
Örnek 6:
Bir ABC dik üçgeninde, A açısı dik açıdır ve AD, BC hipotenüsüne ait yüksekliktir.
BD uzunluğu \( x \) cm, DC uzunluğu \( x+5 \) cm ve AD yüksekliği \( 6 \) cm olarak verilmiştir.
Buna göre, AC kenarının uzunluğu kaç cm'dir? 🧐
BD uzunluğu \( x \) cm, DC uzunluğu \( x+5 \) cm ve AD yüksekliği \( 6 \) cm olarak verilmiştir.
Buna göre, AC kenarının uzunluğu kaç cm'dir? 🧐
Çözüm:
Bu problemde hem Öklid'in Yükseklik Bağıntısı'nı hem de Dik Kenar Bağıntısı'nı kullanmamız gerekecek.
- 👉 Verilenler: BD \( = x \), DC \( = x+5 \), AD (\( h \)) \( = 6 \) cm.
- 👉 İstenen: AC kenarının uzunluğu.
- ✅ İlk olarak Öklid'in yükseklik bağıntısını kullanarak \( x \) değerini bulalım:
\[ AD^2 = BD \cdot DC \] \[ 6^2 = x \cdot (x+5) \] \[ 36 = x^2 + 5x \] - ✅ Denklemi düzenleyelim ve çarpanlara ayıralım:
\[ x^2 + 5x - 36 = 0 \] \[ (x+9)(x-4) = 0 \] - ✅ \( x \) bir uzunluk olduğu için negatif olamaz. Bu yüzden \( x = 4 \) olmalıdır.
Demek ki, BD \( = 4 \) cm ve DC \( = 4+5 = 9 \) cm'dir. - ✅ Şimdi hipotenüs BC'nin tamamını bulalım:
\[ BC = BD + DC \] \[ BC = 4 + 9 \] \[ BC = 13 \text{ cm} \] - ✅ Son olarak, AC kenarı için dik kenar bağıntısını uygulayalım:
\[ AC^2 = DC \cdot BC \] \[ AC^2 = 9 \cdot 13 \] \[ AC^2 = 117 \] - ✅ Her iki tarafın karekökünü alarak AC değerini buluruz:
\[ AC = \sqrt{117} \] \[ AC = \sqrt{9 \cdot 13} \] \[ AC = 3\sqrt{13} \]
Örnek 7:
Bir inşaat mühendisi, bir binanın çatısına yerleştirilecek güneş panelinin destek sistemini tasarlıyor. Destek sistemi, dik açılı bir üçgen oluşturacak şekilde planlanmıştır. Bu üçgenin hipotenüsü, çatının eğimli yüzeyini temsil etmektedir. Hipotenüse indirilen dikme (yükseklik), panelin optimum açıda durmasını sağlamaktadır.
Bu dikmenin hipotenüs üzerinde ayırdığı parçalardan biri \( 5 \) metre, diğeri \( 20 \) metre uzunluğundadır. Buna göre, panel destek sisteminin yüksekliği (yani hipotenüse indirilen dikme) kaç metredir? ☀️
Bu dikmenin hipotenüs üzerinde ayırdığı parçalardan biri \( 5 \) metre, diğeri \( 20 \) metre uzunluğundadır. Buna göre, panel destek sisteminin yüksekliği (yani hipotenüse indirilen dikme) kaç metredir? ☀️
Çözüm:
Bu senaryoda, güneş paneli destek sistemi bir dik üçgen oluşturuyor ve panelin optimum açısını sağlayan dikme de bu üçgenin hipotenüse ait yüksekliği oluyor. Hipotenüs üzerinde ayrılan parçalar ise Öklid bağıntılarındaki \( p \) ve \( k \) değerleridir.
- 👉 Verilenler: Hipotenüs üzerindeki parçalar \( p = 5 \) metre ve \( k = 20 \) metre.
- 👉 İstenen: Panel destek sisteminin yüksekliği (\( h \)).
- ✅ Öklid'in Yükseklik Bağıntısı'nı hatırlayalım: \( h^2 = p \cdot k \).
- ✅ Verilen değerleri formülde yerine koyalım:
\[ h^2 = 5 \cdot 20 \] \[ h^2 = 100 \] - ✅ Her iki tarafın karekökünü alarak \( h \) değerini buluruz:
\[ h = \sqrt{100} \] \[ h = 10 \]
Örnek 8:
Dik Açılı Çgende Yükseklik kavramı, günlük hayatımızda ve mühendislik uygulamalarında birçok alanda karşımıza çıkar. Peki, tam olarak nerede ve nasıl kullanılır? 🏗️
Çözüm:
Dik açılı çgende yükseklik (Öklid bağıntıları), özellikle inşaat, mimarlık ve tasarım gibi alanlarda kritik öneme sahiptir. İşte bazı örnekler:
- Çatı Konstrüksiyonları: Bir binanın çatısının eğimini ve dayanıklılığını hesaplarken dik açılı üçgenler oluşur. Çatı makaslarının (destekleyici üçgen yapıların) yüksekliği, genişliği ve taşıyıcı elemanlarının uzunlukları Öklid bağıntıları kullanılarak belirlenebilir. Bu, çatının kar ve rüzgar yüklerine karşı ne kadar dayanıklı olacağını hesaplamak için temel bir adımdır.
- Rampa ve Merdiven Tasarımı: Engelli rampaları veya merdivenler tasarlanırken, belirli bir yüksekliğe ulaşmak için gereken yatay uzunluk ve eğim açısı önemlidir. Dik üçgenler ve yükseklik bağıntıları, bu yapıların güvenli ve kullanışlı olmasını sağlayacak boyutları hesaplamada yardımcı olur. Örneğin, bir rampanın eğimini veren dik üçgende, rampa ayağının yerden yüksekliği ve yatay uzaklık arasındaki ilişki bu bağıntılarla incelenir.
- Köprü ve Kiriş Sistemleri: Büyük köprülerin veya yapıların çelik konstrüksiyonlarında, dik açılı üçgen biçimli destek elemanları sıklıkla kullanılır. Bu destek elemanlarının uzunlukları, birbirlerine olan uzaklıkları ve taşıyıcı kapasiteleri, Öklid bağıntıları ve Pisagor teoremi yardımıyla hassas bir şekilde hesaplanır. Bu hesaplamalar, yapının stabilitesi ve güvenliği açısından hayati öneme sahiptir.
- Haritacılık ve Arazi Ölçümü: Coğrafi ölçümlerde, bir tepenin yüksekliğini veya iki nokta arasındaki mesafeyi doğrudan ölçmek zor olabilir. Bu durumlarda, dik üçgenler oluşturularak ve açılar ile bilinen uzunluklar kullanılarak yükseklik ve uzaklıklar dolaylı yoldan hesaplanır. Bu hesaplamalarda da dik üçgendeki yükseklik ve kenar bağıntıları kullanılır.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-dik-acili-cgende-yukseklik/sorular