Dik Açılı Çgende Yükseklik Ders Notu

Dik açılı bir üçgende, dik köşeden hipotenüse indirilen yükseklik, üçgenin kenarları arasında özel bağıntılar kurulmasını sağlar. Bu bağıntılara Öklid Bağıntıları adı verilir. 10. sınıf müfredatında, bu bağıntılar geometri konuları arasında önemli bir yer tutar.

Dik Açılı Üçgende Yükseklik ve Öklid Bağıntıları 📐

Bir ABC dik üçgeninde, A açısının \( 90^\circ \) olduğunu varsayalım. A köşesinden hipotenüs BC kenarına çizilen dikme (yükseklik), BC kenarını D noktasında kessin. Bu durumda:

• AD yüksekliği \( h \) ile gösterilir.
• BD uzunluğu \( p \) ile gösterilir. (Açıortaydan hipotenüse inen dikmenin ayırdığı parçalardan biri)
• DC uzunluğu \( k \) ile gösterilir. (Diğer parça)
• Hipotenüs BC'nin tamamı \( a \) ile gösterilir, yani \( a = p + k \).
• AB dik kenarının uzunluğu \( c \) ile gösterilir.
• AC dik kenarının uzunluğu \( b \) ile gösterilir.

Bu özel durumda oluşan benzer üçgenler sayesinde aşağıdaki Öklid Bağıntıları elde edilir:

Öklid Bağıntılarının Temeli: Benzerlik 💡

Dik açılı bir üçgende dik köşeden hipotenüse yükseklik çizildiğinde, oluşan küçük üçgenler (ABD ve ACD) hem kendi aralarında hem de büyük üçgen (ABC) ile benzer olurlar. Bu benzerlikler, Öklid Bağıntılarının matematiksel temelini oluşturur.

1. Yükseklik Bağıntısı (h² = p \times k) 📏

Yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların uzunluklarının çarpımına eşittir.

\[ h^2 = p \cdot k \]

Örnek Soru 1: Bir ABC dik üçgeninde A açısı \( 90^\circ \). A köşesinden hipotenüs BC'ye indirilen yükseklik, hipotenüsü 4 cm ve 9 cm uzunluğunda iki parçaya ayırıyorsa, bu yüksekliğin uzunluğu kaç cm'dir?

Çözüm: Verilenler: \( p = 4 \) cm, \( k = 9 \) cm. Yükseklik bağıntısını kullanalım:

\[ h^2 = p \cdot k \] \[ h^2 = 4 \cdot 9 \] \[ h^2 = 36 \] \[ h = \sqrt{36} \] \[ h = 6 \text{ cm} \]

Yüksekliğin uzunluğu 6 cm'dir.

2. Dik Kenar Bağıntıları (b² = k \times a ve c² = p \times a) 📐

Her bir dik kenarın karesi, kendi tarafındaki hipotenüs parçasının uzunluğu ile tüm hipotenüs uzunluğunun çarpımına eşittir.

\[ b^2 = k \cdot a \] \[ c^2 = p \cdot a \]

Örnek Soru 2: Bir ABC dik üçgeninde A açısı \( 90^\circ \). A köşesinden hipotenüs BC'ye çizilen dikme D noktasında BC'yi kessin. BD = 3 cm ve DC = 5 cm ise AB kenarının uzunluğu kaç cm'dir?

Çözüm: Verilenler: \( p = BD = 3 \) cm, \( k = DC = 5 \) cm. Öncelikle hipotenüsün tamamının uzunluğunu bulalım: \( a = p + k = 3 + 5 = 8 \) cm. AB kenarı \( c \) olduğu için \( c^2 = p \cdot a \) bağıntısını kullanalım:

\[ c^2 = p \cdot a \] \[ c^2 = 3 \cdot 8 \] \[ c^2 = 24 \] \[ c = \sqrt{24} \] \[ c = \sqrt{4 \cdot 6} \] \[ c = 2\sqrt{6} \text{ cm} \]

AB kenarının uzunluğu \( 2\sqrt{6} \) cm'dir.

3. Alan Bağıntısı (a \times h = b \times c) 💡

Bir dik üçgenin alanı, dik kenarların çarpımının yarısı veya hipotenüs ile hipotenüse ait yüksekliğin çarpımının yarısı olarak ifade edilebilir. Bu iki ifade eşitlendiğinde alan bağıntısı elde edilir.

• Üçgenin alanı dik kenarlar cinsinden: \( \text{Alan} = \frac{1}{2} b \cdot c \)
• Üçgenin alanı hipotenüs ve yükseklik cinsinden: \( \text{Alan} = \frac{1}{2} a \cdot h \)

Bu iki ifadeyi eşitleyelim:

\[ \frac{1}{2} b \cdot c = \frac{1}{2} a \cdot h \]

Her iki tarafı 2 ile çarptığımızda:

\[ b \cdot c = a \cdot h \]

Bu bağıntı, "dik kenarların çarpımı, hipotenüs ile hipotenüse ait yüksekliğin çarpımına eşittir" şeklinde özetlenebilir.

Örnek Soru 3: Dik kenarları 6 cm ve 8 cm olan bir dik üçgenin hipotenüse ait yüksekliğinin uzunluğu kaç cm'dir?

Çözüm: Verilenler: \( b = 6 \) cm, \( c = 8 \) cm. Öncelikle Pisagor Teoremi'ni kullanarak hipotenüsün uzunluğunu bulalım:

\[ a^2 = b^2 + c^2 \] \[ a^2 = 6^2 + 8^2 \] \[ a^2 = 36 + 64 \] \[ a^2 = 100 \] \[ a = \sqrt{100} \] \[ a = 10 \text{ cm} \]

Şimdi alan bağıntısını kullanalım:

\[ b \cdot c = a \cdot h \] \[ 6 \cdot 8 = 10 \cdot h \] \[ 48 = 10h \] \[ h = \frac{48}{10} \] \[ h = 4.8 \text{ cm} \]

Hipotenüse ait yüksekliğin uzunluğu 4.8 cm'dir.

Öklid Bağıntıları Özeti 📋

Bağıntının Adı	Formül
Yükseklik Bağıntısı	\( h^2 = p \cdot k \)
Dik Kenar Bağıntıları	\( b^2 = k \cdot a \) \( c^2 = p \cdot a \)
Alan Bağıntısı	\( b \cdot c = a \cdot h \)