Çökenler Ders Notu

10. Sınıf Matematik: Çökenler (Permütasyon) 🔢

Bu derste, belirli bir nesne grubundan belirli sayıda nesnenin kaç farklı şekilde seçilip sıralanabileceğini inceleyeceğiz. Çökenler, olasılık ve sayma problemlerinin temelini oluşturan önemli bir konudur.

Çöken Kavramı

n farklı nesnenin r tanesinin farklı sıralanışlarının sayısına n'nin r'li çökeni denir ve \( P(n, r) \) veya \( nPr \) şeklinde gösterilir. Burada \( n \ge r \) olmak zorundadır.

Çöken formülü şu şekildedir:

\[ P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!} \]

Burada \( n! \) (n faktöriyel), 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tam sayıların çarpımıdır. Örneğin, \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \).

Çökenlerin Özellikleri

• \( P(n, n) = n! \) : n farklı nesnenin n'lisinin çökeni, n nesnenin tüm permütasyonlarını verir.
• \( P(n, 1) = n \) : n farklı nesnenin 1'lisinin çökeni, n'dir.
• \( P(n, 0) = 1 \) : n farklı nesnenin 0'lısının çökeni 1'dir (boş kümenin tek bir sıralanışı vardır).

Çözümlü Örnekler

Örnek 1:

5 farklı renkteki boya kaleminden 3 tanesiyle kaç farklı şekilde bir resim yapılabilir?

Bu problemde, 5 farklı boya kaleminden 3 tanesini seçip sıralayacağız. Dolayısıyla \( n=5 \) ve \( r=3 \) olur.

Formülü kullanarak:

\[ P(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 5 \times 4 \times 3 = 60 \]

Demek ki 5 farklı boya kaleminden 3 tanesiyle 60 farklı şekilde resim yapılabilir.

Örnek 2:

3 kişilik bir öğrenci grubundan 2 kişi seçilerek bir başkan ve bir başkan yardımcısı kaç farklı şekilde belirlenebilir?

Burada \( n=3 \) (öğrenci sayısı) ve \( r=2 \) (seçilecek pozisyon sayısı) olur.

Çöken formülü:

\[ P(3, 2) = \frac{3!}{(3-2)!} = \frac{3!}{1!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{1} = 3 \times 2 = 6 \]

Yani 2 kişi 6 farklı şekilde başkan ve başkan yardımcısı olarak belirlenebilir.

Örnek 3:

1, 2, 3, 4 rakamları kullanılarak 3 basamaklı kaç farklı doğal sayı yazılabilir? (Rakamlar tekrarlanmayacaktır.)

Bu durumda elimizde 4 farklı rakam var ve 3 basamaklı bir sayı oluşturacağız. Bu, 4 rakamdan 3'ünü seçip sıralamak anlamına gelir. \( n=4, r=3 \).

Hesaplama:

\[ P(4, 3) = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4!}{1!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{1} = 4 \times 3 \times 2 = 24 \]

Bu rakamlar kullanılarak 24 farklı 3 basamaklı doğal sayı yazılabilir.

Tekrarlı Çökenler (Permütasyon)

Bazen nesneler arasında tekrar edenler olabilir. Bu durumda çöken sayısı farklı hesaplanır.

n tane nesnenin \( n_1 \) tanesi 1. türden, \( n_2 \) tanesi 2. türden, ..., \( n_k \) tanesi k. türden olmak üzere toplam n nesnenin farklı dizilişlerinin sayısı:

\[ \frac{n!}{n_1! n_2! \dots n_k!} \]

Burada \( n_1 + n_2 + \dots + n_k = n \) olmalıdır.

Örnek 4:

"MATEMATİK" kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek kaç farklı anlamlı veya anlamsız kelime yazılabilir?

Kelime 9 harflidir. Harflerin tekrar sayıları:

• M: 2 tane
• A: 2 tane
• T: 2 tane
• E: 1 tane
• İ: 1 tane
• K: 1 tane

Toplam harf sayısı \( n=9 \). Tekrar eden harfler: \( n_1=2 \) (M), \( n_2=2 \) (A), \( n_3=2 \) (T).

Tekrarlı çöken formülü:

\[ \frac{9!}{2! 2! 2!} = \frac{362880}{2 \times 2 \times 2} = \frac{362880}{8} = 45360 \]

Yani "MATEMATİK" kelimesinin harfleriyle 45360 farklı kelime yazılabilir.

Örnek 5:

3 kırmızı, 2 mavi bilye yan yana kaç farklı şekilde dizilebilir?

Toplam bilye sayısı \( n=5 \). Tekrar edenler: \( n_1=3 \) (kırmızı), \( n_2=2 \) (mavi).

Hesaplama:

\[ \frac{5!}{3! 2!} = \frac{120}{(6)(2)} = \frac{120}{12} = 10 \]

Bu bilyeler 10 farklı şekilde dizilebilir.