💡 10. Sınıf Matematik: Cebirsel ve fonksiyonel işlemler Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Cebirsel ve fonksiyonel işlemler Çözümlü Örnekler
Polinomlarda Toplama İşlemi:
\( P(x) = 3x^2 - 5x + 7 \)
\( Q(x) = 2x^2 + 4x - 3 \)
Yukarıda verilen polinomlara göre \( P(x) + Q(x) \) işleminin sonucunu bulunuz. ➕
Polinomlarda toplama işlemi yapılırken aynı dereceli terimlerin katsayıları kendi aralarında toplanır:
- Derecesi 2 olan terimler: \( 3x^2 + 2x^2 = (3 + 2)x^2 = 5x^2 \)
- Derecesi 1 olan terimler: \( -5x + 4x = (-5 + 4)x = -x \)
- Sabit terimler: \( 7 + (-3) = 4 \)
Sonuçları birleştirdiğimizde:
\[ P(x) + Q(x) = 5x^2 - x + 4 \]
✅ İşlem başarıyla tamamlandı.Polinomlarda Çarpma İşlemi:
\( P(x) = x - 3 \)
\( Q(x) = x^2 + 2x - 1 \)
Olduğuna göre \( P(x) \times Q(x) \) çarpım polinomunu bulunuz. ✖️
Polinomlarda çarpma işlemi yapılırken dağılma özelliği kullanılır. \( P(x) \)'in her bir terimi, \( Q(x) \)'in her bir terimi ile çarpılır:
- \( x \times (x^2 + 2x - 1) = x^3 + 2x^2 - x \)
- \( -3 \times (x^2 + 2x - 1) = -3x^2 - 6x + 3 \)
Şimdi elde edilen bu ifadeleri toplayarak düzenleyelim:
\[ x^3 + (2x^2 - 3x^2) + (-x - 6x) + 3 \]
\[ x^3 - x^2 - 7x + 3 \]
📌 Çarpma işlemi sonucunda derecelerin toplandığına dikkat ediniz.Polinomlarda Bölme ve Kalan Bulma:
\( P(x) = x^3 - 2x^2 + 4x + 5 \)
Polinomunun \( x - 2 \) ile bölümünden kalan kaçtır? 💡
Bir \( P(x) \) polinomunun \( x - a \) ile bölümünden kalanı bulmak için \( P(a) \) değerini hesaplarız. Bu soruda bölen \( x - 2 \) olduğu için \( x - 2 = 0 \) eşitliğinden \( x = 2 \) yazarız.
- \( P(2) = 2^3 - 2 \times 2^2 + 4 \times 2 + 5 \)
- \( P(2) = 8 - 2 \times 4 + 8 + 5 \)
- \( P(2) = 8 - 8 + 8 + 5 \)
- \( P(2) = 13 \)
Kalan değeri \( 13 \) olarak bulunur.
✅ Kalan Teoremi kullanılarak bölme işlemi yapmadan sonuca ulaşıldı.Fonksiyonlarda Dört İşlem:
\( f(x) = 2x + 5 \)
\( g(x) = x^2 - 3 \)
Olduğuna göre \( (f + g)(4) \) değerini hesaplayınız. 🔢
Fonksiyonlarda toplama işleminin kuralına göre \( (f + g)(x) = f(x) + g(x) \) yazılır. Bu durumda \( (f + g)(4) = f(4) + g(4) \) olur.
- f(4) değerini bulalım: \( f(4) = 2 \times 4 + 5 = 8 + 5 = 13 \)
- g(4) değerini bulalım: \( g(4) = 4^2 - 3 = 16 - 3 = 13 \)
Değerleri toplayalım:
\[ (f + g)(4) = 13 + 13 = 26 \]
👉 Sonuç \( 26 \) bulunur.Bileşke Fonksiyon İşlemi:
\( f(x) = 3x - 2 \)
\( g(x) = x + 4 \)
Olduğuna göre \( (f \circ g)(x) \) bileşke fonksiyonunu bulunuz. 🔄
Bileşke fonksiyon tanımına göre \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \) demektir. Yani \( f \) fonksiyonunda \( x \) gördüğümüz yere \( g(x) \) yazmalıyız.
- \( f(x) = 3x - 2 \)
- \( g(x) = x + 4 \)
- \( f(g(x)) = 3 \times (x + 4) - 2 \)
Parantezi dağıtalım:
\[ 3x + 12 - 2 \]
\[ 3x + 10 \]
Sonuç olarak \( (f \circ g)(x) = 3x + 10 \) bulunur.
📌 Bileşke işleminde işlem sırası sağdan sola doğrudur.Ters Fonksiyon Bulma:
\( f(x) = \frac{4x - 1}{x + 3} \)
Fonksiyonunun tersi olan \( f^{-1}(x) \) fonksiyonunu bulunuz. ⏪
Rasyonel biçimdeki \( f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \) fonksiyonunun tersini bulurken pratik kural uygulanır: Paydaki \( x \)'li terimin katsayısı (\( a \)) ile paydadaki sabit terim (\( d \)) hem yer hem de işaret değiştirir.
- Fonksiyonumuzda \( a = 4 \), \( b = -1 \), \( c = 1 \) ve \( d = 3 \)'tür.
- \( 4 \) ve \( 3 \) sayılarını yer ve işaret değiştirerek taşıyalım.
- Yeni payda sabit terim \( -4 \) olur.
- Yeni payda \( x \)'li terim katsayısı \( -3 \) olur.
Buna göre ters fonksiyon:
\[ f^{-1}(x) = \frac{-3x - 1}{x - 4} \]
✅ Pratik kural ile ters fonksiyon elde edildi.Günlük Hayat Uygulaması (Maliyet Fonksiyonu):
Bir taksi durağında açılış ücreti 20 TL'dir. Gidilen her kilometre için ise 15 TL ücret alınmaktadır.
a) Gidilen yol \( x \) (km) olmak üzere, toplam ücreti veren \( f(x) \) fonksiyonunu yazınız.
b) 10 km yol giden bir müşteri kaç TL öder? 🚕
Bu problemde sabit bir başlangıç değeri ve değişken bir artış oranı vardır.
- a) Fonksiyonun oluşturulması: Sabit ücret (açılış) 20 TL, her km başı ücret 15 TL ise fonksiyon:
\( f(x) = 15x + 20 \) şeklinde ifade edilir. - b) 10 km için hesaplama: Fonksiyonda \( x = 10 \) yazılır.
\( f(10) = 15 \times 10 + 20 \)
\( f(10) = 150 + 20 = 170 \)
Müşteri toplamda 170 TL ödeme yapar.
💰 Fonksiyonlar günlük hayattaki maliyet hesaplamalarında sıkça kullanılır.Geometrik Modelleme ile Polinomlar:
Bir kenar uzunluğu \( x + 3 \) birim, diğer kenar uzunluğu \( x + 2 \) birim olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin alanını veren \( A(x) \) polinomunu bulunuz. Eğer \( x = 5 \) birim ise bahçenin alanı kaç birimkare olur? 📐
Dikdörtgenin alanı, iki kenar uzunluğunun çarpımı ile bulunur.
- Alan Polinomu: \( A(x) = (x + 3) \times (x + 2) \)
- Dağılma özelliğini uygulayalım:
\( A(x) = x^2 + 2x + 3x + 6 \)
\( A(x) = x^2 + 5x + 6 \) - x = 5 için alan hesabı:
\( A(5) = 5^2 + 5 \times 5 + 6 \)
\( A(5) = 25 + 25 + 6 \)
\( A(5) = 56 \)
Bahçenin alanı \( 56 \) birimkaredir.
🌟 Cebirsel ifadeler geometrik şekillerin alan ve çevre hesaplamalarında temel teşkil eder.Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-cebirsel-ve-fonksiyonel-islemler/sorular