Bir fonksiyonun tersini bulmak için \( x \) değişkenini yalnız bırakma algoritması uygulanır:
Adım 1: Fonksiyonu \( y \) değerine eşitleyelim:
\[ y = 4x - 12 \]
Adım 2: Sabit sayıyı karşıya atalım:
\[ y + 12 = 4x \]
Adım 3: Her iki tarafı \( x \)'in katsayısı olan \( 4 \)'e bölelim:
\[ x = \frac{y + 12}{4} \]
Adım 4: Son aşamada \( x \) yerine \( f^{-1}(x) \), \( y \) yerine ise \( x \) yazalım:
\[ f^{-1}(x) = \frac{x + 12}{4} \]
✅ Sonuç: Fonksiyonun tersi \( \frac{x + 12}{4} \) olarak elde edilir.
4
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
Polinomlarda Kalan Teoremi:
\( P(x) = x^2 - 6x + k \) polinomunun \( x - 2 \) ile bölümünden kalan \( 10 \) olduğuna göre \( k \) sabit sayısını bulunuz. 📌
Çözüm ve Açıklama
Polinomlarda bölme yapmadan kalanı bulmak için bölen sıfıra eşitlenir:
Adım 1: Bölen ifadeyi sıfıra eşitleyelim: \( x - 2 = 0 \) ise \( x = 2 \).
Adım 2: Kalan teoremi gereği, \( P(2) \) değeri bize kalanı verir. Soruda kalan \( 10 \) olarak verilmiştir.
\[ P(2) = 10 \]
Adım 3: Polinomda \( x \) yerine \( 2 \) yazarak denklemi kuralım:
\[ 2^2 - 6 \times 2 + k = 10 \]
\[ 4 - 12 + k = 10 \]
Adım 4: İşlemleri yapalım:
\[ -8 + k = 10 \]
\[ k = 10 + 8 \]
\[ k = 18 \]
✅ Sonuç: \( k = 18 \) bulunur.
5
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Doğrusal Fonksiyon Uygulaması:
Bir taksinin açılış ücreti \( 20 \) TL'dir. Gidilen her kilometre için ise \( 15 \) TL ücret alınmaktadır. Gidilen yolu \( x \) (km) ve ödenecek toplam tutarı \( f(x) \) (TL) olarak kabul edersek, bu durumu ifade eden fonksiyonu yazınız ve \( 10 \) km giden birinin ne kadar ödeyeceğini bulunuz. 🚕
Çözüm ve Açıklama
Bu durum doğrusal bir fonksiyon ile ifade edilir:
Adım 1: Sabit ücret (başlangıç değeri) \( 20 \)'dir.
Adım 2: Değişken ücret, her kilometre için \( 15 \) TL'dir. Yani \( 15x \).
Bir bilgisayar programı, içine atılan bir \( x \) tam sayısı için şu adımları uygulamaktadır:
1. Sayı çift ise: \( f(x) = \frac{x}{2} \)
2. Sayı tek ise: \( f(x) = 3x + 1 \)
Bu programa önce \( x = 6 \) sayısı giriliyor. Çıkan sonuç tekrar programa (girdi olarak) girilirse, ikinci adımın sonunda hangi sayı elde edilir? 💻
Çözüm ve Açıklama
Bu bir fonksiyonel algoritma sorusudur. Adım adım ilerleyelim:
Adım 1: İlk girdi \( x = 6 \). Sayı çift olduğu için 1. kural uygulanır:
\[ f(6) = \frac{6}{2} = 3 \]
Adım 2: Elde edilen \( 3 \) sonucu tekrar programa giriliyor.
Adım 3: Yeni girdi \( x = 3 \). Sayı tek olduğu için 2. kural uygulanır:
Bir fonksiyonun tersini bulmak için \( x \) değişkenini yalnız bırakma algoritması uygulanır:
Adım 1: Fonksiyonu \( y \) değerine eşitleyelim:
\[ y = 4x - 12 \]
Adım 2: Sabit sayıyı karşıya atalım:
\[ y + 12 = 4x \]
Adım 3: Her iki tarafı \( x \)'in katsayısı olan \( 4 \)'e bölelim:
\[ x = \frac{y + 12}{4} \]
Adım 4: Son aşamada \( x \) yerine \( f^{-1}(x) \), \( y \) yerine ise \( x \) yazalım:
\[ f^{-1}(x) = \frac{x + 12}{4} \]
✅ Sonuç: Fonksiyonun tersi \( \frac{x + 12}{4} \) olarak elde edilir.
Örnek 4:
Polinomlarda Kalan Teoremi:
\( P(x) = x^2 - 6x + k \) polinomunun \( x - 2 \) ile bölümünden kalan \( 10 \) olduğuna göre \( k \) sabit sayısını bulunuz. 📌
Çözüm:
Polinomlarda bölme yapmadan kalanı bulmak için bölen sıfıra eşitlenir:
Adım 1: Bölen ifadeyi sıfıra eşitleyelim: \( x - 2 = 0 \) ise \( x = 2 \).
Adım 2: Kalan teoremi gereği, \( P(2) \) değeri bize kalanı verir. Soruda kalan \( 10 \) olarak verilmiştir.
\[ P(2) = 10 \]
Adım 3: Polinomda \( x \) yerine \( 2 \) yazarak denklemi kuralım:
\[ 2^2 - 6 \times 2 + k = 10 \]
\[ 4 - 12 + k = 10 \]
Adım 4: İşlemleri yapalım:
\[ -8 + k = 10 \]
\[ k = 10 + 8 \]
\[ k = 18 \]
✅ Sonuç: \( k = 18 \) bulunur.
Örnek 5:
Doğrusal Fonksiyon Uygulaması:
Bir taksinin açılış ücreti \( 20 \) TL'dir. Gidilen her kilometre için ise \( 15 \) TL ücret alınmaktadır. Gidilen yolu \( x \) (km) ve ödenecek toplam tutarı \( f(x) \) (TL) olarak kabul edersek, bu durumu ifade eden fonksiyonu yazınız ve \( 10 \) km giden birinin ne kadar ödeyeceğini bulunuz. 🚕
Çözüm:
Bu durum doğrusal bir fonksiyon ile ifade edilir:
Adım 1: Sabit ücret (başlangıç değeri) \( 20 \)'dir.
Adım 2: Değişken ücret, her kilometre için \( 15 \) TL'dir. Yani \( 15x \).
Bir bilgisayar programı, içine atılan bir \( x \) tam sayısı için şu adımları uygulamaktadır:
1. Sayı çift ise: \( f(x) = \frac{x}{2} \)
2. Sayı tek ise: \( f(x) = 3x + 1 \)
Bu programa önce \( x = 6 \) sayısı giriliyor. Çıkan sonuç tekrar programa (girdi olarak) girilirse, ikinci adımın sonunda hangi sayı elde edilir? 💻
Çözüm:
Bu bir fonksiyonel algoritma sorusudur. Adım adım ilerleyelim:
Adım 1: İlk girdi \( x = 6 \). Sayı çift olduğu için 1. kural uygulanır:
\[ f(6) = \frac{6}{2} = 3 \]
Adım 2: Elde edilen \( 3 \) sonucu tekrar programa giriliyor.
Adım 3: Yeni girdi \( x = 3 \). Sayı tek olduğu için 2. kural uygulanır: