💡 10. Sınıf Matematik: Cebirsel ve fonksiyonel algoritmalar Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Cebirsel ve fonksiyonel algoritmalar Çözümlü Örnekler
Fonksiyon Değeri Hesaplama:
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı bir \( f(x) = 5x - 8 \) fonksiyonu veriliyor. Buna göre \( f(4) \) değerini hesaplayınız. 💡
Fonksiyonlarda bir noktadaki değeri bulmak için değişkene (burada \( x \)) verilen sayı yazılır:
- Adım 1: Fonksiyonda \( x \) gördüğümüz her yere \( 4 \) yazalım.
- Adım 2: İşlemi uygulayalım:
- Adım 3: Çarpma işlemini yapalım:
- Adım 4: Çıkarma işlemini tamamlayalım:
✅ Sonuç: \( 12 \) olarak bulunur.
Bileşke Fonksiyon Algoritması:
\( f(x) = 2x + 3 \) ve \( g(x) = x - 5 \) fonksiyonları veriliyor. Buna göre \( (f \circ g)(7) \) değerini bulunuz. 🚀
Bileşke fonksiyonlarda işlem sağdan sola doğru yapılır:
- Adım 1: Önce en içteki değeri, yani \( g(7) \) değerini hesaplayalım.
- Adım 2: Bulduğumuz bu sonucu \( f \) fonksiyonunda yerine yazalım. Yani \( f(g(7)) \) ifadesi \( f(2) \) olur.
- Adım 3: \( f(2) \) değerini hesaplayalım:
✅ Sonuç: \( (f \circ g)(7) = 7 \) bulunur.
Ters Fonksiyon Bulma:
\( f(x) = 4x - 12 \) fonksiyonunun tersi olan \( f^{-1}(x) \) fonksiyonunu bulunuz. 🔍
Bir fonksiyonun tersini bulmak için \( x \) değişkenini yalnız bırakma algoritması uygulanır:
- Adım 1: Fonksiyonu \( y \) değerine eşitleyelim:
- Adım 2: Sabit sayıyı karşıya atalım:
- Adım 3: Her iki tarafı \( x \)'in katsayısı olan \( 4 \)'e bölelim:
- Adım 4: Son aşamada \( x \) yerine \( f^{-1}(x) \), \( y \) yerine ise \( x \) yazalım:
✅ Sonuç: Fonksiyonun tersi \( \frac{x + 12}{4} \) olarak elde edilir.
Polinomlarda Kalan Teoremi:
\( P(x) = x^2 - 6x + k \) polinomunun \( x - 2 \) ile bölümünden kalan \( 10 \) olduğuna göre \( k \) sabit sayısını bulunuz. 📌
Polinomlarda bölme yapmadan kalanı bulmak için bölen sıfıra eşitlenir:
- Adım 1: Bölen ifadeyi sıfıra eşitleyelim: \( x - 2 = 0 \) ise \( x = 2 \).
- Adım 2: Kalan teoremi gereği, \( P(2) \) değeri bize kalanı verir. Soruda kalan \( 10 \) olarak verilmiştir.
- Adım 3: Polinomda \( x \) yerine \( 2 \) yazarak denklemi kuralım:
- Adım 4: İşlemleri yapalım:
✅ Sonuç: \( k = 18 \) bulunur.
Doğrusal Fonksiyon Uygulaması:
Bir taksinin açılış ücreti \( 20 \) TL'dir. Gidilen her kilometre için ise \( 15 \) TL ücret alınmaktadır. Gidilen yolu \( x \) (km) ve ödenecek toplam tutarı \( f(x) \) (TL) olarak kabul edersek, bu durumu ifade eden fonksiyonu yazınız ve \( 10 \) km giden birinin ne kadar ödeyeceğini bulunuz. 🚕
Bu durum doğrusal bir fonksiyon ile ifade edilir:
- Adım 1: Sabit ücret (başlangıç değeri) \( 20 \)'dir.
- Adım 2: Değişken ücret, her kilometre için \( 15 \) TL'dir. Yani \( 15x \).
- Adım 3: Fonksiyonu oluşturalım:
- Adım 4: \( 10 \) km için \( x = 10 \) yazalım:
✅ Sonuç: Fonksiyon \( f(x) = 15x + 20 \)'dir ve ödenecek tutar \( 170 \) TL'dir.
Algoritmik Fonksiyon Makinesi:
Bir bilgisayar programı, içine atılan bir \( x \) tam sayısı için şu adımları uygulamaktadır:
1. Sayı çift ise: \( f(x) = \frac{x}{2} \)
2. Sayı tek ise: \( f(x) = 3x + 1 \)
Bu programa önce \( x = 6 \) sayısı giriliyor. Çıkan sonuç tekrar programa (girdi olarak) girilirse, ikinci adımın sonunda hangi sayı elde edilir? 💻
Bu bir fonksiyonel algoritma sorusudur. Adım adım ilerleyelim:
- Adım 1: İlk girdi \( x = 6 \). Sayı çift olduğu için 1. kural uygulanır:
- Adım 2: Elde edilen \( 3 \) sonucu tekrar programa giriliyor.
- Adım 3: Yeni girdi \( x = 3 \). Sayı tek olduğu için 2. kural uygulanır:
✅ Sonuç: İkinci işlemin sonunda elde edilen sayı \( 10 \)'dur.
Parçalı Fonksiyonlar:
Aşağıda tanımlanan \( f(x) \) fonksiyonu için \( f(5) + f(-2) \) toplamını bulunuz. 🧩
\( f(x) = x + 10 \), eğer \( x \ge 0 \) ise
\( f(x) = x^2 \), eğer \( x < 0 \) ise
Parçalı fonksiyonlarda, \( x \) değerinin hangi aralığa düştüğüne bakılır:
- Adım 1: \( f(5) \) için bakalım. \( 5 \ge 0 \) olduğu için üstteki kural kullanılır:
- Adım 2: \( f(-2) \) için bakalım. \( -2 < 0 \) olduğu için alttaki kural kullanılır:
- Adım 3: Bulunan değerleri toplayalım:
✅ Sonuç: Toplam \( 19 \) olarak bulunur.
Polinomlarda Katsayılar Toplamı:
\( P(x) = (3x - 1)^3 + 5 \) polinomunun katsayılar toplamını bulunuz. 🔢
Bir polinomun katsayılar toplamını bulmak için en temel algoritma \( x \) yerine \( 1 \) yazmaktır:
- Adım 1: Polinomda \( x = 1 \) yazalım.
- Adım 2: Parantez içindeki işlemi yapalım:
- Adım 3: Üslü ifadeyi hesaplayalım:
- Adım 4: Toplama işlemini bitirelim:
✅ Sonuç: Katsayılar toplamı \( 13 \) bulunur.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-cebirsel-ve-fonksiyonel-algoritmalar/sorular