💡 10. Sınıf Matematik: Cebirsel ifadeler ve fonksiyonların algoritmik yapısı Çözümlü Örnekler

Fonksiyonlarda değer bulmak için değişken yerine istenen sayı yazılır:

• Verilen kural: \( f(x) = 3x - 4 \)
• Bizden istenen: \( f(6) \)
• İşlem adımı: \( x \) yerine \( 6 \) yazalım.
• \( f(6) = 3 \times 6 - 4 \)
• \( f(6) = 18 - 4 \)
• Sonuç: \( f(6) = 14 \) bulunur. ✅

Bileşke fonksiyonlarda işlem sağdan sola doğru bir algoritma ile ilerler:

• 1. Adım: En içteki fonksiyon olan \( g(3) \) değerini hesaplayalım.
• \( g(3) = 3^2 - 2 = 9 - 2 = 7 \)
• 2. Adım: Bulduğumuz bu sonucu \( f \) fonksiyonunda yerine yazalım. Yani \( f(7) \) değerini bulalım.
• \( f(7) = 2 \times 7 + 1 \)
• \( f(7) = 14 + 1 = 15 \)
• Sonuç: \( (f \circ g)(3) = 15 \) olarak elde edilir. 🎯

Bir fonksiyonun tersini bulmak için \( x \) değişkenini yalnız bırakma algoritması uygulanır:

• Adım 1: Fonksiyonu \( y \) değerine eşitleyelim: \( y = 5x - 10 \)
• Adım 2: \( -10 \) ifadesini karşıya atalım: \( y + 10 = 5x \)
• Adım 3: Her iki tarafı \( 5 \) ile bölelim: \( x = \frac{y + 10}{5} \)
• Adım 4: Son aşamada \( x \) ile \( y \) yerini değiştirelim.
• Sonuç: \( f^{-1}(x) = \frac{x + 10}{5} \) bulunur. ✨

Bu problemde sabit bir başlangıç değeri ve değişken bir artış hızı vardır:

• Fonksiyonun Kurulması: Sabit ücret (açılış) \( 20 \), km başına ücret \( 8x \)'dir.
• Denklem: \( f(x) = 8x + 20 \)
• Hesaplama: \( x = 15 \) için değeri bulalım.
• \( f(15) = 8 \times 15 + 20 \)
• \( f(15) = 120 + 20 \)
• Sonuç: Yolcu toplam 140 TL ödeme yapar. 💰

Makinenin adımlarını matematiksel ifadelere dönüştürelim:

• 1. Adım: \( x^2 \)
• 2. Adım: \( x^2 + 5 \)
• 3. Adım: \( 3 \times (x^2 + 5) \)
• Buna göre fonksiyon: \( h(x) = 3x^2 + 15 \) olur.
• Hesaplama: \( x = 2 \) için;
• \( h(2) = 3 \times (2^2) + 15 \)
• \( h(2) = 3 \times 4 + 15 = 12 + 15 = 27 \)
• Sonuç: Makineden çıkan sayı 27 olacaktır. 🚀

Polinomlar da birer fonksiyon yapısındadır, değişken yerine sayı yazılır:

• \( P(2) = 2^3 - 2 \times (2^2) + 4 \times 2 - 1 \)
• \( P(2) = 8 - 2 \times 4 + 8 - 1 \)
• \( P(2) = 8 - 8 + 8 - 1 \)
• \( P(2) = 0 + 8 - 1 \)
• Sonuç: \( P(2) = 7 \) bulunur. ✅

Kalan teoremi algoritmasına göre, bölen sıfıra eşitlenir ve bulunan değer polinomda yerine yazılır:

• Adım 1: Böleni sıfıra eşitle: \( x - 3 = 0 \) ise \( x = 3 \)
• Adım 2: Bu değeri polinomda yerine yaz: \( P(3) \) bize kalanı verir.
• \( P(3) = 3^2 - 5 \times 3 + 8 \)
• \( P(3) = 9 - 15 + 8 \)
• \( P(3) = -6 + 8 \)
• Sonuç: Kalan \( 2 \) olarak bulunur. 💎

Ortak çarpan parantezine alma algoritmasını uygulayalım:

• 1. Gruplandırma: İlk iki terimi \( a \), son iki terimi \( b \) parantezine alalım.
• \( a(x + y) + b(x + y) \)
• 2. Gruplandırma: Şimdi her iki tarafta ortak olan \( (x + y) \) parantezine alalım.
• \( (x + y) \times (a + b) \)
• Sonuç: İfadenin çarpanlarına ayrılmış hali \( (x + y)(a + b) \) şeklindedir. 🌈