Çarpma Yoluyla Sayma Ders Notu

Çarpma yoluyla sayma, günlük hayatta karşılaşılan seçim veya sıralama problemlerinde, her adımda kaç farklı seçeneğin olduğunu belirleyerek toplam olası durum sayısını bulmaya yarayan temel bir sayma yöntemidir. Bu yöntem, bir olayın farklı aşamalarının her birinde yapılabilecek seçimlerin sayısını çarparak tüm olası sonuçların sayısını elde etmemizi sağlar.

Temel Sayma İlkesi 💡

Bir olay A ve B gibi iki ardışık işlemden oluşuyorsa, A işlemi \( m \) farklı şekilde ve B işlemi de A işleminden bağımsız olarak \( n \) farklı şekilde yapılabiliyorsa, bu iki işlem birlikte \( m \times n \) farklı şekilde yapılabilir. Bu ilke, ikiden fazla işlem için de genişletilebilir. Yani, bir olay \( k \) farklı adımdan oluşuyorsa ve her adımda yapılabilecek seçim sayıları sırasıyla \( n_1, n_2, \dots, n_k \) ise, bu olay toplam \( n_1 \times n_2 \times \dots \times n_k \) farklı şekilde gerçekleşebilir.

Bu ilke, günlük hayatta kıyafet seçiminden şifre oluşturmaya, farklı yollar belirlemeden menü hazırlamaya kadar birçok alanda karşımıza çıkar. Her adımda kaç seçeneğimiz olduğunu belirleyip bu seçenekleri çarparak toplam olasılıkları buluruz.

Örnek 1: Kıyafet Seçimi 👕👖

Bir öğrencinin 3 farklı tişörtü, 2 farklı pantolonu ve 4 farklı ayakkabısı vardır. Bu öğrenci, bir tişört, bir pantolon ve bir ayakkabıdan oluşan bir kombinasyonu kaç farklı şekilde seçebilir?

• Tişört seçimi için 3 farklı seçenek vardır.
• Pantolon seçimi için 2 farklı seçenek vardır.
• Ayakkabı seçimi için 4 farklı seçenek vardır.

Temel sayma ilkesine göre, toplam kombinasyon sayısı bu seçeneklerin çarpımı olacaktır:

\[ 3 \times 2 \times 4 = 24 \]

Öğrenci, kıyafetlerini 24 farklı şekilde seçebilir.

Örnek 2: Şifre Oluşturma 🔒

Rakamları farklı olmak şartıyla, 0, 1, 2, 3, 4 rakamları kullanılarak üç basamaklı kaç farklı sayı oluşturulabilir?

Üç basamaklı bir sayı oluşturulacağı için üç basamak düşünmeliyiz: yüzler, onlar ve birler basamağı.

• Yüzler basamağı: 0 rakamı yüzler basamağına gelemez. Bu yüzden 1, 2, 3, 4 rakamlarından biri seçilebilir. Yani 4 seçeneğimiz var.
• Onlar basamağı: Rakamları farklı olacağı için yüzler basamağında kullanılan rakam tekrar kullanılamaz. Geriye kalan 4 rakamdan (0 dahil) biri seçilebilir. Yani 4 seçeneğimiz var.
• Birler basamağı: Yüzler ve onlar basamağında kullanılan iki rakam tekrar kullanılamaz. Geriye kalan 3 rakamdan biri seçilebilir. Yani 3 seçeneğimiz var.

Toplam farklı sayı sayısı:

\[ 4 \times 4 \times 3 = 48 \]

48 farklı üç basamaklı sayı oluşturulabilir.

Örnek 3: Sayı Oluşturma (Tekrarsız) 🔢

1, 2, 3, 4, 5 rakamları kullanılarak, rakamları farklı dört basamaklı kaç farklı tek sayı yazılabilir?

Bir sayının tek sayı olabilmesi için birler basamağının tek rakam olması gerekir.

• Birler basamağı: Tek rakamlar 1, 3, 5'tir. Yani birler basamağı için 3 seçeneğimiz var.
• Binler basamağı: Rakamları farklı olacağı için birler basamağında kullanılan rakam dışındaki 4 rakamdan biri seçilebilir. Yani 4 seçeneğimiz var.
• Yüzler basamağı: İlk iki basamakta kullanılan rakamlar dışındaki 3 rakamdan biri seçilebilir. Yani 3 seçeneğimiz var.
• Onlar basamağı: İlk üç basamakta kullanılan rakamlar dışındaki 2 rakamdan biri seçilebilir. Yani 2 seçeneğimiz var.

Toplam farklı tek sayı sayısı:

\[ 4 \times 3 \times 2 \times 3 = 72 \]

72 farklı dört basamaklı tek sayı yazılabilir.

Örnek 4: Sayı Oluşturma (Tekrarlı) 🔄

0, 1, 2, 3 rakamları kullanılarak, rakamları tekrarlı üç basamaklı kaç farklı çift sayı yazılabilir?

Bir sayının çift sayı olabilmesi için birler basamağının çift rakam olması gerekir.

• Birler basamağı: Çift rakamlar 0, 2'dir. Yani birler basamağı için 2 seçeneğimiz var.
• Yüzler basamağı: 0 rakamı yüzler basamağına gelemez. Rakamlar tekrarlı olabileceği için 1, 2, 3 rakamlarından biri seçilebilir. Yani 3 seçeneğimiz var.
• Onlar basamağı: Rakamlar tekrarlı olabileceği için 0, 1, 2, 3 rakamlarının hepsi kullanılabilir. Yani 4 seçeneğimiz var.

Toplam farklı çift sayı sayısı:

\[ 3 \times 4 \times 2 = 24 \]

24 farklı üç basamaklı çift sayı yazılabilir.

Örnek 5: Farklı Yollar 🛣️

A şehrinden B şehrine 3 farklı yol, B şehrinden C şehrine 2 farklı yol vardır.

1. A şehrinden C şehrine kaç farklı yoldan gidilebilir?
2. A şehrinden C şehrine gidip, geri A şehrine dönmek isteyen bir kişi, gidişte kullandığı yolları dönüşte kullanmamak şartıyla kaç farklı şekilde yolculuk yapabilir?

1. A şehrinden C şehrine gidiş:

• A'dan B'ye gitmek için 3 farklı yol.
• B'den C'ye gitmek için 2 farklı yol.

Toplam gidiş yolu sayısı:

\[ 3 \times 2 = 6 \]

6 farklı yoldan A şehrinden C şehrine gidilebilir.

2. Gidiş-Dönüş (Kullanılan yolları tekrar kullanmama):

• A'dan B'ye gidiş: 3 yol seçeneği.
• B'den C'ye gidiş: 2 yol seçeneği.
• C'den B'ye dönüş: Gidişte kullanılan yol hariç, 1 yol seçeneği kalır.
• B'den A'ya dönüş: Gidişte kullanılan yol hariç, 2 yol seçeneği kalır.

Toplam gidiş-dönüş yolu sayısı:

\[ 3 \times 2 \times 1 \times 2 = 12 \]

Gidişte kullanılan yolları dönüşte kullanmamak şartıyla 12 farklı şekilde yolculuk yapılabilir.