🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Bölünebilme Özellikleri Ve Kalan Bulma Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Bölünebilme Özellikleri Ve Kalan Bulma Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Soru 1: 4 basamaklı \( 5a2b \) sayısı 5 ile tam bölünebilen bir çift sayıdır. Bu sayının 3 ile tam bölünebilmesi için \( a \) rakamının alabileceği değerler toplamı kaçtır? 💡
Çözüm:
- Sayı 5 ile tam bölündüğü için \( b \) rakamı 0 veya 5 olmalıdır.
- Sayı çift olduğu için \( b = 0 \) olmalıdır.
- Sayı \( 5a20 \) halini alır. 3 ile bölünebilme kuralı gereği rakamlar toplamı \( 5 + a + 2 + 0 = 7 + a \) ifadesi 3'ün katı olmalıdır.
- \( a \) değerleri 2, 5 ve 8 olabilir.
- Toplamları: \( 2 + 5 + 8 = 15 \) olarak bulunur. ✅
Örnek 2:
Soru 2: 4 basamaklı \( 7x4y \) sayısı 9 ile tam bölünebilmektedir. Bu sayının 10 ile bölümünden kalan 2 olduğuna göre \( x \) kaçtır? 📌
Çözüm:
- 10 ile bölümünden kalan 2 ise son basamak \( y = 2 \) olmalıdır.
- Sayı \( 7x42 \) şeklindedir. 9 ile bölünebilme kuralına göre rakamlar toplamı 9'un katı olmalıdır.
- \( 7 + x + 4 + 2 = 13 + x \) ifadesi 9'un katı olmalıdır.
- \( 13 + x = 18 \) eşitliğinden \( x = 5 \) bulunur. ✅
Örnek 3:
Soru 3: 5 basamaklı \( 2a3b4 \) sayısı 4 ile tam bölünebilmektedir. Bu sayının 3 ile bölümünden kalan 1 ise \( a + b \) toplamının en büyük değeri kaçtır? 👉
Çözüm:
- 4 ile bölünebilme için son iki basamak \( b4 \) sayısı 04, 24, 44, 64, 84 olabilir.
- 3 ile bölümünden kalan 1 kuralı: \( 2 + a + 3 + b + 4 = 9 + a + b \) ifadesinin 3'e bölümünden kalan 1 olmalıdır.
- \( 9 + a + b = 3k + 1 \implies a + b \) toplamının 3'e bölümünden kalan 1 olmalıdır.
- \( b \) değerleri için \( a+b \) toplamını maksimize edelim. \( b=8 \) için \( a+8 \) toplamı 3'ün katından 1 fazla olmalı. \( a=8 \) için \( 16 \equiv 1 \pmod{3} \).
- En büyük \( a+b = 8 + 8 = 16 \) olur. ✅
Örnek 4:
Soru 4: Bir mağazada ürünlerin barkod numaraları 6 basamaklıdır. \( 1234x5 \) şeklindeki bir barkodun 11 ile tam bölünebildiği bilinmektedir. Buna göre \( x \) kaçtır? 🛍️
Çözüm:
- 11 ile bölünebilme kuralı: Sağdan sola doğru +, -, +, -, +, - işaretleri verilir.
- \( (5 + 4 + 2) - (x + 3 + 1) = 11 - x - 4 = 7 - x \)
- \( 7 - x \) ifadesi 0 veya 11'in katı olmalıdır.
- \( 7 - x = 0 \implies x = 7 \) bulunur. ✅
Örnek 5:
Soru 5: Bir çiftçi elindeki 450 adet elmayı her kasaya eşit sayıda elma gelecek şekilde paketleyecektir. Kasalara 6'şar veya 9'ar elma koyduğunda hiç elma artmadığına göre, bu sayı 6 ve 9'a tam bölünebilir mi? 🍎
Çözüm:
- Bir sayının 6'ya bölünebilmesi için 2 ve 3'e tam bölünmesi gerekir. \( 450 \) çift olduğu için 2'ye, rakamları toplamı \( 9 \) olduğu için 3'e bölünür. Yani 6'ya tam bölünür.
- Bir sayının 9'a bölünebilmesi için rakamları toplamı 9'un katı olmalıdır. \( 4+5+0 = 9 \), yani 9'un katıdır.
- Sonuç olarak 450 sayısı hem 6'ya hem de 9'a tam bölünür. ✅
Örnek 6:
Soru 6: \( A = 123123123 \) sayısı 9 ile bölündüğünde kalan kaçtır? 🔢
Çözüm:
- Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir.
- \( 1+2+3 = 6 \) grubu 3 kez tekrar etmektedir.
- Toplam: \( 3 \times 6 = 18 \).
- \( 18 \) sayısı 9'un tam katı olduğu için kalan 0'dır. ✅
Örnek 7:
Soru 7: \( x \) ve \( y \) birer doğal sayıdır. \( 4x + 3y \) ifadesinin 5 ile bölümünden kalan 2'dir. Buna göre \( 8x + 13y \) ifadesinin 5 ile bölümünden kalan kaçtır? 🧠
Çözüm:
- \( 4x + 3y \equiv 2 \pmod{5} \)
- İstenen ifade: \( 8x + 13y \pmod{5} \)
- \( 8x \equiv 3x \pmod{5} \) ve \( 13y \equiv 3y \pmod{5} \)
- İfadeyi düzenlersek: \( 3x + 3y = 3(x + y) \)
- \( 4x + 3y \equiv 2 \implies -x + 3y \equiv 2 \implies 3y \equiv x + 2 \)
- Bu tür sorularda değer vererek kontrol edelim: \( x=1, y=1 \implies 4+3=7 \equiv 2 \).
- Bu durumda \( 8(1) + 13(1) = 21 \).
- \( 21 \div 5 \) işleminden kalan 1 olur. ✅
Örnek 8:
Soru 8: 4 basamaklı \( 2a3b \) sayısı 12 ile tam bölünebilmektedir. \( a \) nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? 🎯
Çözüm:
- 12 ile bölünebilme için sayı hem 3'e hem de 4'e bölünmelidir.
- 4 ile bölünebilme için \( 3b \) sayısı 32 veya 36 olabilir.
- Durum 1: \( b=2 \implies 2a32 \implies 2+a+3+2 = 7+a \). 3'ün katı olması için \( a \in \{2, 5, 8\} \).
- Durum 2: \( b=6 \implies 2a36 \implies 2+a+3+6 = 11+a \). 3'ün katı olması için \( a \in \{1, 4, 7\} \).
- Değerler toplamı: \( 2+5+8+1+4+7 = 27 \). ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-bolunebilme-ozellikleri-ve-kalan-bulma/sorular