📄 10. Sınıf Matematik: Bölünebilme Özellikleri Ve Kalan Bulma Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

1. Sayının 5 ile bölümünden kalan 3 ise, birler basamağı \(B\) ya 3 ya da 8 olmalıdır.
2. Durum 1: \(B=3\) ise, sayı \(7A83\) olur. Bu sayının 9 ile bölümünden kalan 2 ise, rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalan 2 olmalıdır.
\(7+A+8+3 = 18+A\). \(18+A\) sayısının 9 ile bölümünden kalan 2 olmalıdır. \(18\) zaten 9'un katı olduğu için, \(A\) rakamının 9 ile bölümünden kalan 2 olmalıdır. Bu durumda \(A=2\) olabilir.
3. Durum 2: \(B=8\) ise, sayı \(7A88\) olur. Bu sayının 9 ile bölümünden kalan 2 ise, rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalan 2 olmalıdır.
\(7+A+8+8 = 23+A\). \(23+A\) sayısının 9 ile bölümünden kalan 2 olmalıdır. \(23 = 2 \times 9 + 5\) olduğundan, \(5+A\) sayısının 9 ile bölümünden kalan 2 olmalıdır. \(5+A = 2\) veya \(5+A = 11\) (çünkü \(A\) bir rakamdır). \(5+A=2\) olamaz çünkü \(A\) negatif olur. \(5+A=11\) ise \(A=6\) olur.
4. \(A\) rakamının alabileceği değerler \(2\) ve \(6\)'dır.
5. Bu değerlerin toplamı: \(2+6 = 8\).

💡 Çözüm Adımları:

1. Bölme algoritmasına göre, \(A = B \times Q + K\) ve \(0 \le K < B\) olmalıdır.
2. Soruda verilenler: \(B=12\) (bölen), \(Q=5\) (bölüm), \(K\) (kalan).
3. Bu durumda \(A = 12 \times 5 + K\) ve \(0 \le K < 12\) olmalıdır.
4. \(K\)'nin alabileceği değerler, 0'dan başlayıp 11'e kadar olan tam sayılardır: \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\).
5. \(K\)'nin alabileceği değerler toplamı: \(0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11\).
6. Bu bir ardışık sayıların toplamıdır ve \(\frac{n(n+1)}{2}\) formülü ile hesaplanabilir. Burada \(n=11\).
7. Toplam = \(\frac{11(11+1)}{2} = \frac{11 \times 12}{2} = 11 \times 6 = 66\).
8. \(K\)'nin alabileceği değerler toplamı 66'dır.

💡 Çözüm Adımları:

1. Sayının 10 ile bölümünden kalan 4 ise, birler basamağı \(C=4\) olmalıdır. Sayı \(5A3B24\) olur.
2. Sayının 4 ile bölümünden kalan 2 ise, son iki basamağı olan \(24\)'ün 4 ile bölümünden kalan 2 olmalıdır. \(24\) sayısı 4 ile tam bölünür (kalan 0). Ancak soruda kalan 2 olarak verilmiş. Bu bir çelişki yaratmaktadır. Sanırım soruda bir hata var veya ben kuralı yanlış yorumladım. Bir sayının 4 ile bölümünden kalan 2 ise, son iki basamağının 4 ile bölümünden kalan 2 olmalıdır. \(2C\) sayısı 4 ile bölündüğünde 2 kalanını vermelidir. \(C=4\) ise \(24\) sayısı 4 ile tam bölünür, kalanı 0'dır. Bu durumda \(C\) 4 olamaz. \(C\) için 4 ile bölümünden kalan 2 olacak şekilde birler basamağı belirlemeliyiz.
*Düzeltme:* 10 ile bölümünden kalan 4 ise \(C=4\). Şimdi \(2C\) yani \(24\)'ün 4 ile bölümünden kalan 0'dır. Bu durumda sorudaki '4 ile bölümünden kalan 2' bilgisi ile çelişiyor. Soruyu bu haliyle çözemeyiz. Varsayalım ki '4 ile bölümünden kalan 2' bilgisi \(2C\) değil, tüm sayı için geçerli ve \(C\) değeri 10 ile kalandan bağımsız olabilirdi. Ancak 10 ile kalan \(C\)'yi direkt veriyor. Bu durumda \(2C\) yani \(24\)'ün 4 ile bölümünden kalan 2 olamaz. Bu noktada sorunun hatalı olduğunu belirtmek gerekir. Eğer soru '4 ile bölümünden kalan 2' değil de '4 ile tam bölünebilen' deseydi, \(C\) yine 4 olabilirdi (çünkü \(24\) 4'e bölünür).
*En uygun düzeltme:* '4 ile bölümünden kalan 2' bilgisi yerine '4 ile tam bölünebilen' deseydi veya \(C\) değeri 10 ile bölümünden kalan 4 iken, \(2C\) (yani \(24\))'ün 4 ile bölümünden kalan 2 olabilecek bir \(C\) değeri olsaydı. Bu mümkün değil. \(C=4\) ise \(24\) 4'e tam bölünür. Eğer \(C\) 10 ile kalandan dolayı 4 ise, o zaman \(2C\) yani \(24\)'ün 4 ile bölümünden kalan 0'dır, 2 değildir. Bu soruyu bu haliyle çözemeyiz.
*Varsayım:* Soruda bir yazım hatası olduğunu ve '4 ile bölümünden kalan 2' bilgisinin aslında '4 ile bölümünden kalan 0' veya '4 ile tam bölünebilen' olması gerektiğini varsayalım. Bu durumda \(C=4\) ile devam edebiliriz. Ama bu varsayım pedagojik olarak doğru değil.
*Alternatif Çözüm Yaklaşımı:* Eğer \(C\) 10 ile bölümünden kalan 4 ise \(C=4\). O zaman sayının son iki basamağı \(24\) olur. \(24\)'ün 4 ile bölümünden kalan 0'dır. Soruda '4 ile bölümünden kalan 2' denildiğine göre, bu iki bilgi çelişiyor. Bu sorunun bu haliyle geçerli bir çözümü yoktur.
*Çözüm için soruyu yeniden yorumlama:* Belki de '4 ile bölümünden kalan 2' ifadesi, sayının kendisinin 4 ile bölümünden kalan 2'dir, ve bu \(C\) değerini etkileyebilir. Ama 10 ile bölümünden kalan \(C\)'yi kesinleştirir.
*Sonuç:* Bu sorunun '10 ile bölümünden kalan 4' ve '4 ile bölümünden kalan 2' bilgileri aynı anda doğru olamaz. Çünkü \(C=4\) ise \(2C=24\) olur ve \(24\)'ün 4 ile bölümünden kalan 0'dır, 2 değildir. Bu soruyu bu haliyle çözmek mümkün değildir. Öğrenciye bu durumda 'soru hatalıdır' cevabını vermesi gerekir. Ancak ben yine de bir çözüm üretmeliyim. Soruyu '4 ile tam bölünebilen' olarak varsayarak çözeyim ki bir çözüm olsun.
*Varsayılan Düzeltme:* '4 ile bölümünden kalan 2' yerine '4 ile tam bölünebilen' olarak kabul edelim. Bu durumda \(C=4\) olmaya devam eder (çünkü \(24\) 4'e tam bölünür).
*Yeniden Başlangıç:*
1. Sayının 10 ile bölümünden kalan 4 ise, \(C=4\). Sayı \(5A3B24\) olur.
2. Sayının 4 ile tam bölünebilmesi için (sorudaki '4 ile bölümünden kalan 2' ifadesini '4 ile tam bölünebilen' olarak varsayarak) son iki basamağı olan \(24\)'ün 4'ün katı olması gerekir. \(24\) zaten 4'ün katıdır. Bu bilgi \(C=4\) ile uyumludur.
3. Sayının 3 ile bölümünden kalan 1 ise, rakamları toplamının 3 ile bölümünden kalan 1 olmalıdır.
Rakamları toplamı: \(5+A+3+B+2+4 = 14+A+B\).
\(14+A+B\) sayısının 3 ile bölümünden kalan 1 olmalıdır.
\(14\)'ün 3 ile bölümünden kalan 2'dir (\(14 = 3 \times 4 + 2\)).
O halde, \(2+A+B\) sayısının 3 ile bölümünden kalan 1 olmalıdır.
Bu durumda \(A+B\) toplamı 3'ün katı olmalı veya 3'ün katından 2 fazla olmalıdır (örneğin, \(A+B=1\) veya \(A+B=4\) veya \(A+B=7\) vb.).
Yani \(A+B \equiv 1-2 \equiv -1 \equiv 2 \pmod 3\) olmalıdır.
\(A+B\) toplamının alabileceği en küçük değeri bulmak için \(A\) ve \(B\)'ye en küçük rakamları vermeliyiz.
4. \(A\) ve \(B\) birer rakamdır. \(A \ge 0\), \(B \ge 0\).
\(A+B\) toplamının en küçük olması için \(A=0\) ve \(B=0\) seçersek, \(A+B=0\) olur. \(0\)'ın 3 ile bölümünden kalan 0'dır, 2 değildir.
\(A+B=1\) olursa, \(1\)'in 3 ile bölümünden kalan 1'dir, 2 değildir.
\(A+B=2\) olursa, \(2\)'nin 3 ile bölümünden kalan 2'dir. Bu şartı sağlar. \(A+B\) toplamı en az 2 olabilir.
5. \(A+B+C\) toplamının en küçük değeri: \(A+B = 2\) (en az) ve \(C=4\).
\(A+B+C = 2+4 = 6\).
*Not:* Sorudaki '4 ile bölümünden kalan 2' ifadesi, \(C=4\) ile çeliştiği için, bu çözümde '4 ile tam bölünebilen' olarak yorumlanmıştır. Eğer '4 ile bölümünden kalan 2' bilgisi doğru kabul edilseydi, \(C\) değeri 10 ile bölümünden kalan 4 olamazdı, bu da soruyu çözülemez kılardı.