Bölünebilme Özellikleri Ve Kalan Bulma Ders Notu

Bölünebilme Özellikleri ve Kalan Bulma 🔢

Bu bölümde, bir sayının başka bir sayıya tam bölünüp bölünmediğini anlamamızı sağlayan bölünebilme kurallarını ve bir bölme işleminde kalanın nasıl bulunacağını öğreneceğiz. Bu kurallar, büyük sayıların bölünebilirliğini pratik bir şekilde kontrol etmemize yardımcı olur.

Temel Bölünebilme Kuralları

Bölünebilme kuralları, bir sayının belirli bir sayıya kalansız bölünüp bölünmediğini anlamak için kullanılır. İşte en sık kullanılan kurallar:

2 ile Bölünebilme: Bir sayının birler basamağı çift rakamlardan (0, 2, 4, 6, 8) biri ise, o sayı 2 ile tam bölünür.
3 ile Bölünebilme: Bir sayının rakamları toplamı 3'ün katı ise, o sayı 3 ile tam bölünür.
4 ile Bölünebilme: Bir sayının son iki basamağının oluşturduğu sayı 4'ün katı ise, o sayı 4 ile tam bölünür.
5 ile Bölünebilme: Bir sayının birler basamağı 0 veya 5 ise, o sayı 5 ile tam bölünür.
6 ile Bölünebilme: Bir sayı hem 2 hem de 3 ile tam bölünüyorsa, o sayı 6 ile tam bölünür.
9 ile Bölünebilme: Bir sayının rakamları toplamı 9'un katı ise, o sayı 9 ile tam bölünür.
10 ile Bölünebilme: Bir sayının birler basamağı 0 ise, o sayı 10 ile tam bölünür.

Kalan Bulma ➗

Bir bölme işleminde kalan, bölünenin bölen ile çarpımının katlarından farkıdır. Genel olarak bir \(a\) sayısının \(b\) sayısına bölümünden kalan \(k\) ise, bu durum şu şekilde ifade edilir:

\[ a = b \times q + k \]

Burada \(a\) bölünen, \(b\) bölen, \(q\) bölüm ve \(k\) kalandır. Kalanın her zaman bölennden küçük ve sıfırdan büyük veya eşit olması gerektiğini unutmayalım: \(0 \le k < b\).

Örnek 1: Kalan Bulma

125 sayısının 7'ye bölümünden kalanı bulalım.

125'i 7'ye böldüğümüzde:

125 = 7 \times 17 + 6

Burada \(a=125\), \(b=7\), \(q=17\) ve \(k=6\)'dır. Kalan 6'dır.

Örnek 2: Bölünebilme Kuralı ile Kalan Bulma

3456 sayısının 9'a bölümünden kalanı bulalım.

Önce sayının rakamları toplamını bulalım:

3 + 4 + 5 + 6 = 18

18 sayısı 9'un bir katı olduğu için (18 = 9 \times 2), 3456 sayısı 9 ile tam bölünür. Dolayısıyla kalan 0'dır.

Örnek 3: Birden Fazla Kural Kullanımı

7890 sayısının 6'ya bölümünden kalanı bulalım.

Öncelikle 2 ile bölünebilme kuralına bakalım: Sayının birler basamağı 0'dır, bu nedenle 2 ile tam bölünür.

Şimdi 3 ile bölünebilme kuralına bakalım: Rakamları toplamı 7 + 8 + 9 + 0 = 24'tür. 24 sayısı 3'ün katı olduğu için (24 = 3 \times 8), sayı 3 ile tam bölünür.

Sayı hem 2 hem de 3 ile tam bölündüğü için, 6 ile de tam bölünür. Kalan 0'dır.

Örnek 4: Kalanlı Bölme

2345 sayısının 4'e bölümünden kalanı bulalım.

4 ile bölünebilme kuralına göre sayının son iki basamağına bakarız. Son iki basamak 45'tir.

45'i 4'e böldüğümüzde kalan 1 olur (45 = 4 \times 11 + 1).

Bu nedenle 2345 sayısının 4'e bölümünden kalan 1'dir.

Özel Durumlar ve Teknikler

Bazen sayılar çok büyük olabilir. Bu durumlarda, bölünebilme kurallarını veya kalan bulma tekniklerini akıllıca kullanmak önemlidir.

11 ile Bölünebilme (10. Sınıf Müfredatı Kapsamında Değildir, Genel Kültür Amaçlıdır): Bir sayının birler basamağından başlayarak sağdan sola doğru rakamları sırasıyla + ve - ile işaretleyip topladığımızda elde edilen sonuç 11'in katı ise, o sayı 11 ile tam bölünür.

Günlük Hayattan Örnek: Bir pastanede 360 adet kurabiye var. Bu kurabiyeleri 5'erli paketlere ayırmak istiyoruz. 360 sayısı 5'in birler basamağı 0 olduğu için 5'e tam bölünür. Yani hiç kurabiye artmaz.

Diğer bir örnek: Elinizde 100 TL para var ve bunu 3 arkadaşınıza eşit olarak paylaştırmak istiyorsunuz. 100 sayısının rakamları toplamı 1+0+0=1'dir. 1, 3'ün katı olmadığı için 100 TL, 3 kişiye tam olarak bölünemez. Kalanı bulmak için 100'ü 3'e böleriz: 100 = 3 \times 33 + 1. Her arkadaş 33 TL alır ve 1 TL artar.

Özet Tablo

Bölen	Kural
2	Birler basamağı çift ise.
3	Rakamları toplamı 3'ün katı ise.
4	Son iki basamağı 4'ün katı ise.
5	Birler basamağı 0 veya 5 ise.
6	Hem 2 hem de 3 ile tam bölünüyorsa.
9	Rakamları toplamı 9'un katı ise.
10	Birler basamağı 0 ise.