Bölünebilme Özellikleri İle Kalan Bulma Ders Notu

Bölünebilme Özellikleri İle Kalan Bulma 🔢

Matematikte bölme işlemi, bir sayının başka bir sayıya eşit gruplara ayrılmasını ifade eder. Bölme işleminde her zaman bir bölüm ve bir kalan bulunur. Bölünebilme özellikleri, bir sayının belirli bir sayıya kalansız bölünüp bölünemeyeceğini anlamamıza yardımcı olurken, kalan bulma ise bölme işleminin sonucunda elde edilen artık değeri belirlememizi sağlar. Bu dersimizde, bölünebilme kurallarını kullanarak farklı sayılarla bölme işlemlerinde kalanı nasıl bulacağımızı öğreneceğiz.

Temel Bölme İşlemi ve Kalan Kavramı

Bir \( a \) sayısının \( b \) sayısına bölümünden kalanı bulmak için şu ifadeyi kullanırız:

\[ a = b \cdot q + k \]

Burada:

• \( a \): Bölünen sayı
• \( b \): Bölen sayı ( \( b \neq 0 \) olmalıdır)
• \( q \): Bölüm
• \( k \): Kalan

Kalan \( k \), her zaman bölen \( b \)'den küçük ve sıfırdan büyük veya eşittir. Yani, \( 0 \le k < b \) olmalıdır.

Bölünebilme Kuralları ve Kalan Bulma

Bölünebilme kuralları, bir sayının belirli bir sayıya kalansız bölünüp bölünemeyeceğini gösterir. Bu kuralları kullanarak, tam kalansız bölme durumlarında kalan \( 0 \) olur. Ancak, bu kuralları genişleterek kalan bulma işlemlerinde de kullanabiliriz.

2 ile Bölünebilme ve Kalan 🚩

Bir sayının birler basamağı çift ise (0, 2, 4, 6, 8), o sayı 2 ile kalansız bölünür (kalan 0'dır). Tek ise (1, 3, 5, 7, 9), 2 ile bölümünden kalan 1'dir.

• Örnek: 123 sayısının 2 ile bölümünden kalan 1'dir.
• Örnek: 548 sayısının 2 ile bölümünden kalan 0'dır.

3 ile Bölünebilme ve Kalan 🚩

Bir sayının rakamları toplamı 3'ün katı ise, o sayı 3 ile kalansız bölünür (kalan 0'dır). Rakamları toplamının 3 ile bölümünden kalan, sayının 3 ile bölümünden kalana eşittir.

• Örnek: 145 sayısının rakamları toplamı \( 1+4+5 = 10 \). 10'un 3 ile bölümünden kalan 1'dir. Dolayısıyla 145'in 3 ile bölümünden kalan 1'dir.
• Örnek: 789 sayısının rakamları toplamı \( 7+8+9 = 24 \). 24, 3'ün katıdır. Dolayısıyla 789'un 3 ile bölümünden kalan 0'dır.

4 ile Bölünebilme ve Kalan 🚩

Bir sayının son iki basamağının oluşturduğu sayı 4'ün katı ise, o sayı 4 ile kalansız bölünür (kalan 0'dır). Son iki basamağının oluşturduğu sayının 4 ile bölümünden kalan, sayının 4 ile bölümünden kalana eşittir.

• Örnek: 516 sayısının son iki basamağı 16'dır. 16, 4'ün katıdır. Dolayısıyla 516'nın 4 ile bölümünden kalan 0'dır.
• Örnek: 738 sayısının son iki basamağı 38'dir. 38'in 4 ile bölümünden kalan 2'dir (\( 38 = 4 \cdot 9 + 2 \)). Dolayısıyla 738'in 4 ile bölümünden kalan 2'dir.

5 ile Bölünebilme ve Kalan 🚩

Bir sayının birler basamağı 0 veya 5 ise, o sayı 5 ile kalansız bölünür (kalan 0'dır). Birler basamağına göre kalan bulunur:

• Birler basamağı 0 veya 5 ise, kalan 0'dır.
• Birler basamağı 1 veya 6 ise, kalan 1'dir.
• Birler basamağı 2 veya 7 ise, kalan 2'dir.
• Birler basamağı 3 veya 8 ise, kalan 3'tür.
• Birler basamağı 4 veya 9 ise, kalan 4'tür.

• Örnek: 905 sayısının 5 ile bölümünden kalan 0'dır.
• Örnek: 123 sayısının 5 ile bölümünden kalan 3'tür.

6 ile Bölünebilme ve Kalan 🚩

Bir sayının hem 2 ile hem de 3 ile kalansız bölünmesi gereklidir. Eğer bir sayı 2 veya 3'ten biriyle tam bölünmüyorsa, bu sayının 6 ile bölümünden kalanı bulmak için daha karmaşık yöntemler gerekir. Ancak, eğer sayı 2 ve 3'ten kalanları biliyorsak, bu bilgiyi kullanabiliriz.

• Örnek: 132 sayısı hem 2'ye (birler basamağı çift) hem de 3'e (\( 1+3+2=6 \), 6, 3'ün katı) tam bölünür. Dolayısıyla 132'nin 6 ile bölümünden kalan 0'dır.

7, 8, 9, 10 ile Bölünebilme ve Kalan 🚩

10 ile Bölünebilme: Bir sayının birler basamağı 0 ise, o sayı 10 ile kalansız bölünür (kalan 0'dır). Birler basamağındaki rakam, 10 ile bölümünden kalanı verir.

• Örnek: 540 sayısının 10 ile bölümünden kalan 0'dır.
• Örnek: 127 sayısının 10 ile bölümünden kalan 7'dir.

9 ile Bölünebilme: Bir sayının rakamları toplamı 9'un katı ise, o sayı 9 ile kalansız bölünür (kalan 0'dır). Rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalan, sayının 9 ile bölümünden kalana eşittir.

• Örnek: 189 sayısının rakamları toplamı \( 1+8+9 = 18 \). 18, 9'un katıdır. Dolayısıyla 189'un 9 ile bölümünden kalan 0'dır.
• Örnek: 567 sayısının rakamları toplamı \( 5+6+7 = 18 \). 18, 9'un katıdır. Dolayısıyla 567'nin 9 ile bölümünden kalan 0'dır. (Bu örnekte de 18 çıktı, ancak 18'in 9 ile bölümünden kalan 0'dır, bu yüzden 567'nin 9 ile bölümünden kalan 0'dır.)

8 ile Bölünebilme: Bir sayının son üç basamağının oluşturduğu sayı 8'in katı ise, o sayı 8 ile kalansız bölünür (kalan 0'dır). Son üç basamağının oluşturduğu sayının 8 ile bölümünden kalan, sayının 8 ile bölümünden kalana eşittir.

• Örnek: 1232 sayısının son üç basamağı 232'dir. 232'nin 8 ile bölümünden kalan 0'dır (\( 232 = 8 \cdot 29 \)). Dolayısıyla 1232'nin 8 ile bölümünden kalan 0'dır.
• Örnek: 987 sayısının 8 ile bölümünden kalan 7'dir (\( 987 = 8 \cdot 123 + 3 \)). Dolayısıyla 987'nin 8 ile bölümünden kalan 3'tür.

7 ile Bölünebilme: 7 ile bölünebilme kuralı biraz daha karmaşıktır ve genellikle doğrudan bölme işlemi yapmak daha pratiktir. Ancak kural şöyledir: Sayının birler basamağındaki rakamı 2 ile çarpıp, kalan kısımdan çıkarırız. Elde edilen sonucun 7'nin katı olup olmadığına bakarız. Bu işlemi tekrar edebiliriz.

• Örnek: 343 sayısının 7 ile bölümünden kalanı bulalım. Birler basamağı 3. \( 3 \cdot 2 = 6 \). Kalan kısım 34. \( 34 - 6 = 28 \). 28, 7'nin katıdır (\( 28 = 7 \cdot 4 \)). Dolayısıyla 343'ün 7 ile bölümünden kalan 0'dır.
• Örnek: 567 sayısının 7 ile bölümünden kalanı bulalım. Birler basamağı 7. \( 7 \cdot 2 = 14 \). Kalan kısım 56. \( 56 - 14 = 42 \). 42, 7'nin katıdır (\( 42 = 7 \cdot 6 \)). Dolayısıyla 567'nin 7 ile bölümünden kalan 0'dır.

Kombine Kalan Bulma Problemleri

Bazen bir sayının farklı sayılara bölümünden kalanlar verilir ve bu bilgileri kullanarak başka bir bölme işlemi hakkında sonuca ulaşmamız istenir.

Örnek 1:

Bir \( x \) sayısının 5 ile bölümünden kalan 3'tür. Buna göre \( 3x + 2 \) sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm:

Verilen bilgiye göre, \( x \equiv 3 \pmod{5} \). Bu şu demektir: \( x = 5q + 3 \) şeklinde yazılabilir, burada \( q \) bir tam sayıdır.

Şimdi \( 3x + 2 \) ifadesini inceleyelim:

\[ 3x + 2 = 3(5q + 3) + 2 \] \[ 3x + 2 = 15q + 9 + 2 \] \[ 3x + 2 = 15q + 11 \]

Bu ifadeyi 5'in katları şeklinde yazalım:

\[ 3x + 2 = 5(3q) + 10 + 1 \] \[ 3x + 2 = 5(3q + 2) + 1 \]

Burada \( 3q + 2 \) bir tam sayıdır. Dolayısıyla \( 3x + 2 \) sayısının 5 ile bölümünden kalan 1'dir.

Örnek 2:

Bir \( y \) sayısının 3 ile bölümünden kalan 2 ve 4 ile bölümünden kalan 1'dir. Buna göre \( y \) sayısının 12 ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm:

Verilenler:

• \( y \equiv 2 \pmod{3} \)
• \( y \equiv 1 \pmod{4} \)

Bu iki koşulu sağlayan en küçük pozitif \( y \) sayısını bulmaya çalışalım.

İkinci koşuldan \( y \) sayısının 4 ile bölümünden kalan 1 ise, \( y \) şu sayılardan biri olabilir: 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, ...

Şimdi bu sayılardan hangisinin 3 ile bölümünden kalanının 2 olduğunu kontrol edelim:

• 1'in 3 ile bölümünden kalan 1'dir. (Uygun değil)
• 5'in 3 ile bölümünden kalan 2'dir. (Uygun!)

En küçük \( y \) sayısı 5'tir. Ancak, \( y \) sayısı 12'nin katı artı bir kalan şeklinde olmalıdır. \( y \equiv 1 \pmod{4} \) ve \( y \equiv 2 \pmod{3} \) koşullarını sağlayan sayılar 12'nin katları ile bir ilişki içindedir.

Bu tür problemler için Çin Kalan Teoremi kullanılabilir ancak 10. sınıf müfredatında bu teorem doğrudan yer almadığı için, deneme yanılma veya sayıları listeleme yöntemiyle çözmek daha uygundur.

5 sayısının 12 ile bölümünden kalan 5'tir.

Bir sonraki sayıyı bulmak için, bölenlerin (3 ve 4) en küçük ortak katını (EKOK) kullanırız. EKOK(3, 4) = 12.

Bu durumda, \( y \) sayısının 12 ile bölümünden kalan da 5 olacaktır.

Kontrol edelim: \( 5 = 12 \cdot 0 + 5 \). 5'in 3 ile bölümünden kalan 2'dir. 5'in 4 ile bölümünden kalan 1'dir. Koşullar sağlanmıştır.

Bu ders, bölünebilme kurallarının sadece kalansız bölmeyi değil, aynı zamanda kalan bulma işlemlerini de kolaylaştırdığını göstermektedir. Farklı bölünebilme kurallarını bir arada kullanarak karmaşık gibi görünen problemleri çözebiliriz.