💡 10. Sınıf Matematik: Bölme ve bölünebilme Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Temel Bölme İşlemi
Bir bölme işleminde bölen, bölüm ve kalan arasındaki ilişkiyi anlamak önemlidir.
Örnek: 125 sayısını 7'ye bölelim.
Bölünen: 125
Bölen: 7
Bu işlem sonucunda elde edeceğimiz bölüm ve kalanı bulalım.
Çözüm ve Açıklama
Bölme işlemini gerçekleştirirsek:
125 sayısını 7'ye böldüğümüzde, 17'yi bölüm olarak elde ederiz.
Kalan ise 6 olur.
Bu durumu matematiksel olarak şu şekilde ifade edebiliriz:
\[ 125 = 7 \times 17 + 6 \]
Burada kalanın (6), böleninden (7) küçük olduğuna dikkat edelim. Bu, bölme işleminin temel kurallarından biridir. 💡
2
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Bölünebilme Kuralları: 2 ve 5
Bir sayının 2 ile bölünebilmesi için sayının birler basamağının çift olması gerekir. Bir sayının 5 ile bölünebilmesi için ise sayının birler basamağının 0 veya 5 olması gerekir.
Örnek: Aşağıdaki sayılardan hangileri 2'ye tam bölünür? Hangileri 5'e tam bölünür?
450
783
1205
992
Çözüm ve Açıklama
Şimdi bu sayıları tek tek inceleyelim:
450: Birler basamağı 0. Çift olduğu için 2'ye tam bölünür. Birler basamağı 0 olduğu için 5'e tam bölünür. ✅
783: Birler basamağı 3. Tek olduğu için 2'ye tam bölünmez. Birler basamağı 0 veya 5 olmadığı için 5'e tam bölünmez. ❌
1205: Birler basamağı 5. Tek olduğu için 2'ye tam bölünmez. Birler basamağı 5 olduğu için 5'e tam bölünür. ✅
992: Birler basamağı 2. Çift olduğu için 2'ye tam bölünür. Birler basamağı 0 veya 5 olmadığı için 5'e tam bölünmez. ❌
Unutmayalım: Çift sayılar 0, 2, 4, 6, 8 ile biter. 💡
3
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Bölünebilme Kuralları: 3 ve 9
Bir sayının 3 ile bölünebilmesi için sayının rakamları toplamının 3'ün katı olması gerekir. Bir sayının 9 ile bölünebilmesi için ise sayının rakamları toplamının 9'un katı olması gerekir.
Örnek: 3456 sayısının 3'e ve 9'a bölünüp bölünmediğini kontrol edelim.
Çözüm ve Açıklama
Öncelikle sayının rakamları toplamını bulalım:
Rakamlar Toplamı = \( 3 + 4 + 5 + 6 = 18 \)
Şimdi bu toplamı 3 ve 9 ile kontrol edelim:
3 ile bölünebilme: Rakamlar toplamı olan 18, 3'ün bir katıdır (18 = 3 x 6). Bu nedenle 3456 sayısı 3'e tam bölünür. ✅
9 ile bölünebilme: Rakamlar toplamı olan 18, 9'un bir katıdır (18 = 9 x 2). Bu nedenle 3456 sayısı 9'a tam bölünür. ✅
İpucu: Eğer bir sayı 9'a tam bölünüyorsa, kesinlikle 3'e de tam bölünür. Ama tersi her zaman doğru değildir. 📌
4
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Bölünebilme Kuralları: 4 ve 8
Bir sayının 4 ile bölünebilmesi için sayının son iki basamağının oluşturduğu sayının 4'ün katı olması gerekir. Bir sayının 8 ile bölünebilmesi için ise sayının son üç basamağının oluşturduğu sayının 8'in katı olması gerekir.
Örnek: 7812 sayısı 4'e tam bölünür mü? 56728 sayısı 8'e tam bölünür mü?
Çözüm ve Açıklama
Şimdi bu kuralları uygulayarak kontrol edelim:
7812 sayısı için 4 ile bölünebilme: Sayının son iki basamağı 12'dir. 12, 4'ün bir katıdır (12 = 4 x 3). Bu nedenle 7812 sayısı 4'e tam bölünür. ✅
56728 sayısı için 8 ile bölünebilme: Sayının son üç basamağı 728'dir. 728 sayısını 8'e bölelim: \( 728 \div 8 = 91 \). 728, 8'in bir katı olduğu için 56728 sayısı 8'e tam bölünür. ✅
Dikkat: Sayı ne kadar büyük olursa olsun, sadece son iki (4 için) veya son üç (8 için) basamağa bakmak yeterlidir. 💡
5
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
LGS Tarzı Soru: Kalanlı Bölme
Bir sınıftaki öğrencilere kalem dağıtılacaktır. Her öğrenciye 5 kalem düşerse 3 kalem artıyor. Her öğrenciye 7 kalem düşerse 2 kalem eksik kalıyor. Bu sınıfta en az kaç öğrenci olabilir?
Çözüm ve Açıklama
Bu problemi denklem kurarak çözebiliriz:
Sınıftaki öğrenci sayısına \( x \) diyelim.
Birinci duruma göre, toplam kalem sayısı \( 5x + 3 \) olur.
İkinci duruma göre, toplam kalem sayısı \( 7x - 2 \) olur. (2 kalem eksik kaldığı için)
Bu iki ifade birbirine eşit olmalıdır:
\[ 5x + 3 = 7x - 2 \]
Denklemi çözelim:
\( 3 + 2 = 7x - 5x \)
\( 5 = 2x \)
\( x = \frac{5}{2} \)
Ancak öğrenci sayısı kesirli olamaz. Bu demektir ki, biz aslında bir denklem kurduk ama bu denklemde bir eksiklik var. Bu tür sorularda kalanı göz önünde bulundurarak modüler aritmetik kullanmak daha doğrudur.
Şimdi tekrar düşünelim:
Öğrenci sayısı \( x \) olsun.
\( x \equiv 3 \pmod{5} \) (Öğrenci sayısının 5'e bölümünden kalan 3)
\( x \equiv -2 \pmod{7} \equiv 5 \pmod{7} \) (Öğrenci sayısının 7'ye bölümünden kalan 5)
Şimdi bu koşulları sağlayan en küçük \( x \) değerini bulalım:
\( x = 5k + 3 \) formundaki sayıları deneyelim: 3, 8, 13, 18, 23, 28, ...
Bu sayılardan hangisi 7'ye bölündüğünde 5 kalır?
8'in 7'ye bölümünden kalan 1.
13'ün 7'ye bölümünden kalan 6.
18'in 7'ye bölümünden kalan 4.
23'ün 7'ye bölümünden kalan 2.
28'in 7'ye bölümünden kalan 0.
33'ün 7'ye bölümünden kalan 5. (33 = 4 x 7 + 5)
En az öğrenci sayısı 33'tür. ✅
6
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Günlük Hayattan Örnek: Pasta Dilimleri
Bir pastanede yapılan 48 dilimlik büyük bir pasta, eşit sayıda dilimlere ayrılacak şekilde birkaç küçük kutuya konulacaktır. Bu pasta kutulara aşağıdaki gibi yerleştirilebilir:
Her kutuya 6 dilim konulursa, pasta tam olarak kaç kutuya sığar?
Eğer her kutuya 8 dilim konulursa, kaç kutu kullanılır?
Her kutuya 5 dilim konulursa ne olur?
Çözüm ve Açıklama
Bu problem, bölünebilme kavramının temelini oluşturur. Toplam pasta dilimi sayısını kutu başına düşen dilim sayısına bölerek kaç kutu gerektiğini bulabiliriz.
Her kutuya 6 dilim konulursa:
Bölme işlemi: \( 48 \div 6 \)
Sonuç: \( 8 \)
Yani, 8 kutu kullanılır. ✅
Her kutuya 8 dilim konulursa:
Bölme işlemi: \( 48 \div 8 \)
Sonuç: \( 6 \)
Yani, 6 kutu kullanılır. ✅
Her kutuya 5 dilim konulursa:
Bölme işlemi: \( 48 \div 5 \)
Sonuç: Bölüm 9, Kalan 3.
Bu durumda, 9 kutu tam dolar ve 3 dilim pasta artar. Tam olarak kutulara sığdırmak için ek bir kutu daha gerekebilir veya kalan dilimler ayrı bir şekilde paketlenir. 💡
Bu örnek, bir bütünün parçalara ayrılmasında bölme işleminin nasıl kullanıldığını göstermektedir. 📌
7
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
Kombine Bölünebilme Sorusu
Verilen ABC üç basamaklı sayısının özellikleri şunlardır:
Sayı 3'e tam bölünmektedir.
Sayı 4'e tam bölünmektedir.
Sayı 5'e bölündüğünde 2 kalmaktadır.
Bu bilgilere göre A + B + C toplamı kaçtır?
Çözüm ve Açıklama
Şimdi bu koşulları adım adım uygulayarak sayıyı ve rakamlarını bulalım:
5'e bölündüğünde 2 kalan: Bu, sayının birler basamağının (C) 2 veya 7 olması gerektiği anlamına gelir.
4'e tam bölünme: Bu, sayının son iki basamağının (BC) 4'ün katı olması gerektiği anlamına gelir.
Eğer C = 2 ise, BC sayısının 4'ün katı olması için B'nin çift olması gerekir (B0, B2, B4, B6, B8). Örneğin, 22, 42, 62, 82 olmaz. 12, 32, 52, 72, 92 olur.
Eğer C = 7 ise, BC sayısının 4'ün katı olması için B'nin tek olması gerekir. Örneğin, 17, 37, 57, 77, 97 olmaz. 07, 27, 47, 67, 87 olmaz. Bu durumda C=7 olamaz çünkü BC'nin 4'ün katı olması için B çift olmalıydı (son iki basamak 10'dan büyük çift sayı olmalı). Ancak C=7 ise BC'nin 4'ün katı olması için B'nin tek olması gerekir. Bu çelişki yaratır.
Dolayısıyla, C = 2 olmalıdır.
Şimdi C=2 olduğunu bildiğimize göre, BC'nin 4'ün katı olması için B'nin alabileceği değerler: 1, 3, 5, 7, 9. (Örn: 12, 32, 52, 72, 92)
3'e tam bölünme: Sayının rakamları toplamı (A + B + C) 3'ün katı olmalıdır.
Şimdi bu bilgileri birleştirelim:
C = 2
B ∈ {1, 3, 5, 7, 9}
A ∈ {1, 2, ..., 9} (Üç basamaklı sayı olduğu için A sıfır olamaz)
\( A + B + 2 \) 3'ün katı olmalı.
B'nin olası değerlerini deneyelim:
Eğer B = 1 ise: \( A + 1 + 2 = A + 3 \). A'nın 3, 6, 9 olması durumunda toplam 3'ün katı olur. (Sayılar: 312, 612, 912)
Eğer B = 3 ise: \( A + 3 + 2 = A + 5 \). A'nın 1, 4, 7 olması durumunda toplam 3'ün katı olur. (Sayılar: 132, 432, 732)
Eğer B = 5 ise: \( A + 5 + 2 = A + 7 \). A'nın 2, 5, 8 olması durumunda toplam 3'ün katı olur. (Sayılar: 252, 552, 852)
Eğer B = 7 ise: \( A + 7 + 2 = A + 9 \). A'nın 3, 6, 9 olması durumunda toplam 3'ün katı olur. (Sayılar: 372, 672, 972)
Eğer B = 9 ise: \( A + 9 + 2 = A + 11 \). A'nın 1, 4, 7 olması durumunda toplam 3'ün katı olur. (Sayılar: 192, 492, 792)
Bu sayılardan herhangi biri sorudaki koşulları sağlar. Örneğin 312 sayısını kontrol edelim:
312 / 3 = 104 (Tam bölünür)
312 / 4 = 78 (Tam bölünür)
312 / 5 = 62 kalan 2 (Tamam)
Herhangi bir çözümde rakamlar toplamı aynı olacaktır.
Örneğin, 312 için A+B+C = \( 3 + 1 + 2 = 6 \). 6, 3'ün katıdır. ✅
En küçük rakamları toplamı 6'dır. Soruda spesifik bir sayı sorulmadığı için genel toplam sorulmuştur.
Yani, A + B + C = 6 (veya 9, 12, 15, 18 gibi 3'ün katı olan başka bir değer de olabilir, ancak en küçük değer sorulmuş gibi yorumlanabilir veya soruda bir eksiklik olabilir. Genellikle bu tür sorularda rakamları toplamının en küçük değeri sorulur.)
Sorunun tam ifadesi "ABC sayısının rakamları toplamı kaçtır?" ise ve birden fazla olasılık varsa, sorunun en küçük değeri sorması beklenir. Bu durumda en küçük toplam 6'dır.
8
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
YKS Tarzı Soru: Kalan İlişkisi
Bir \( n \) pozitif tam sayısı 7'ye bölündüğünde 3 kalanını vermektedir. Aynı \( n \) sayısı 5'e bölündüğünde ise 4 kalanını vermektedir.
Buna göre, \( n \) sayısının 35'e bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm ve Açıklama
Bu problemi matematiksel olarak şu şekilde ifade edebiliriz:
\( n \equiv 3 \pmod{7} \)
\( n \equiv 4 \pmod{5} \)
Bu, \( n \) sayısının 7'nin katlarından 3 fazla olduğunu ve 5'in katlarından 4 fazla olduğunu gösterir.
Şimdi bu koşulları sağlayan en küçük \( n \) sayısını bulmaya çalışalım.
Birinci koşuldan \( n \) değerleri: 3, 10, 17, 24, 31, 38, ...
İkinci koşuldan \( n \) değerleri: 4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, ...
Her iki listede de ortak olan ilk sayı 24'tür. Demek ki \( n \) sayısı 24 olabilir.
Şimdi 24 sayısını 35'e bölelim:
\( 24 \div 35 \)
Bölüm 0, Kalan 24.
Bu durumda \( n \) sayısının 35'e bölümünden kalan 24'tür.
Bu tür problemler Çin Kalan Teoremi ile de çözülebilir ancak 10. sınıf müfredatında bu teorem doğrudan işlenmeyebilir. Yukarıdaki gibi deneme-yanılma yöntemi veya denklem kurma ile çözmek daha uygundur.
Genel olarak, eğer \( n \equiv a \pmod{m} \) ve \( n \equiv b \pmod{k} \) ise ve \( m \) ile \( k \) aralarında asalsa, \( n \pmod{mk} \) tek bir değere sahiptir.
Bu durumda, \( n \equiv 24 \pmod{35} \) yani \( n \) sayısının 35'e bölümünden kalan 24'tür. ✅
9
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Günlük Hayattan Örnek: Grup Oluşturma
Bir izci kampına katılan 75 öğrenci vardır. Bu öğrenciler, bazı etkinlikler için gruplara ayrılacaktır.
Eğer her grupta 5 öğrenci olursa, kaç grup oluşur?
Eğer her grupta 6 öğrenci olursa, kaç grup oluşur ve kaç öğrenci artar?
Eğer 10 kişilik gruplar halinde çalışırlarsa, kaç grup oluşur?
Çözüm ve Açıklama
Bu örnek, bölme işleminin pratik kullanımını göstermektedir. Toplam öğrenci sayısını grup büyüklüğüne bölerek grupların sayısını ve olası artan öğrenci sayısını bulabiliriz.
Her grupta 5 öğrenci olursa:
Bölme işlemi: \( 75 \div 5 \)
Sonuç: \( 15 \)
Bu durumda 15 grup oluşur ve hiç öğrenci artmaz. ✅
Her grupta 6 öğrenci olursa:
Bölme işlemi: \( 75 \div 6 \)
Sonuç: Bölüm 12, Kalan 3.
Bu durumda 12 grup oluşur ve 3 öğrenci artar. 💡
10 kişilik gruplar halinde çalışırlarsa:
Bölme işlemi: \( 75 \div 10 \)
Sonuç: Bölüm 7, Kalan 5.
Bu durumda 7 grup oluşur ve 5 öğrenci artar. 📌
Bu tür senaryolar, bir bütünün eşit parçalara bölünmesi veya kalanlı bölünmesi durumlarını anlamamıza yardımcı olur.
10. Sınıf Matematik: Bölme ve bölünebilme Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Temel Bölme İşlemi
Bir bölme işleminde bölen, bölüm ve kalan arasındaki ilişkiyi anlamak önemlidir.
Örnek: 125 sayısını 7'ye bölelim.
Bölünen: 125
Bölen: 7
Bu işlem sonucunda elde edeceğimiz bölüm ve kalanı bulalım.
Çözüm:
Bölme işlemini gerçekleştirirsek:
125 sayısını 7'ye böldüğümüzde, 17'yi bölüm olarak elde ederiz.
Kalan ise 6 olur.
Bu durumu matematiksel olarak şu şekilde ifade edebiliriz:
\[ 125 = 7 \times 17 + 6 \]
Burada kalanın (6), böleninden (7) küçük olduğuna dikkat edelim. Bu, bölme işleminin temel kurallarından biridir. 💡
Örnek 2:
Bölünebilme Kuralları: 2 ve 5
Bir sayının 2 ile bölünebilmesi için sayının birler basamağının çift olması gerekir. Bir sayının 5 ile bölünebilmesi için ise sayının birler basamağının 0 veya 5 olması gerekir.
Örnek: Aşağıdaki sayılardan hangileri 2'ye tam bölünür? Hangileri 5'e tam bölünür?
450
783
1205
992
Çözüm:
Şimdi bu sayıları tek tek inceleyelim:
450: Birler basamağı 0. Çift olduğu için 2'ye tam bölünür. Birler basamağı 0 olduğu için 5'e tam bölünür. ✅
783: Birler basamağı 3. Tek olduğu için 2'ye tam bölünmez. Birler basamağı 0 veya 5 olmadığı için 5'e tam bölünmez. ❌
1205: Birler basamağı 5. Tek olduğu için 2'ye tam bölünmez. Birler basamağı 5 olduğu için 5'e tam bölünür. ✅
992: Birler basamağı 2. Çift olduğu için 2'ye tam bölünür. Birler basamağı 0 veya 5 olmadığı için 5'e tam bölünmez. ❌
Unutmayalım: Çift sayılar 0, 2, 4, 6, 8 ile biter. 💡
Örnek 3:
Bölünebilme Kuralları: 3 ve 9
Bir sayının 3 ile bölünebilmesi için sayının rakamları toplamının 3'ün katı olması gerekir. Bir sayının 9 ile bölünebilmesi için ise sayının rakamları toplamının 9'un katı olması gerekir.
Örnek: 3456 sayısının 3'e ve 9'a bölünüp bölünmediğini kontrol edelim.
Çözüm:
Öncelikle sayının rakamları toplamını bulalım:
Rakamlar Toplamı = \( 3 + 4 + 5 + 6 = 18 \)
Şimdi bu toplamı 3 ve 9 ile kontrol edelim:
3 ile bölünebilme: Rakamlar toplamı olan 18, 3'ün bir katıdır (18 = 3 x 6). Bu nedenle 3456 sayısı 3'e tam bölünür. ✅
9 ile bölünebilme: Rakamlar toplamı olan 18, 9'un bir katıdır (18 = 9 x 2). Bu nedenle 3456 sayısı 9'a tam bölünür. ✅
İpucu: Eğer bir sayı 9'a tam bölünüyorsa, kesinlikle 3'e de tam bölünür. Ama tersi her zaman doğru değildir. 📌
Örnek 4:
Bölünebilme Kuralları: 4 ve 8
Bir sayının 4 ile bölünebilmesi için sayının son iki basamağının oluşturduğu sayının 4'ün katı olması gerekir. Bir sayının 8 ile bölünebilmesi için ise sayının son üç basamağının oluşturduğu sayının 8'in katı olması gerekir.
Örnek: 7812 sayısı 4'e tam bölünür mü? 56728 sayısı 8'e tam bölünür mü?
Çözüm:
Şimdi bu kuralları uygulayarak kontrol edelim:
7812 sayısı için 4 ile bölünebilme: Sayının son iki basamağı 12'dir. 12, 4'ün bir katıdır (12 = 4 x 3). Bu nedenle 7812 sayısı 4'e tam bölünür. ✅
56728 sayısı için 8 ile bölünebilme: Sayının son üç basamağı 728'dir. 728 sayısını 8'e bölelim: \( 728 \div 8 = 91 \). 728, 8'in bir katı olduğu için 56728 sayısı 8'e tam bölünür. ✅
Dikkat: Sayı ne kadar büyük olursa olsun, sadece son iki (4 için) veya son üç (8 için) basamağa bakmak yeterlidir. 💡
Örnek 5:
LGS Tarzı Soru: Kalanlı Bölme
Bir sınıftaki öğrencilere kalem dağıtılacaktır. Her öğrenciye 5 kalem düşerse 3 kalem artıyor. Her öğrenciye 7 kalem düşerse 2 kalem eksik kalıyor. Bu sınıfta en az kaç öğrenci olabilir?
Çözüm:
Bu problemi denklem kurarak çözebiliriz:
Sınıftaki öğrenci sayısına \( x \) diyelim.
Birinci duruma göre, toplam kalem sayısı \( 5x + 3 \) olur.
İkinci duruma göre, toplam kalem sayısı \( 7x - 2 \) olur. (2 kalem eksik kaldığı için)
Bu iki ifade birbirine eşit olmalıdır:
\[ 5x + 3 = 7x - 2 \]
Denklemi çözelim:
\( 3 + 2 = 7x - 5x \)
\( 5 = 2x \)
\( x = \frac{5}{2} \)
Ancak öğrenci sayısı kesirli olamaz. Bu demektir ki, biz aslında bir denklem kurduk ama bu denklemde bir eksiklik var. Bu tür sorularda kalanı göz önünde bulundurarak modüler aritmetik kullanmak daha doğrudur.
Şimdi tekrar düşünelim:
Öğrenci sayısı \( x \) olsun.
\( x \equiv 3 \pmod{5} \) (Öğrenci sayısının 5'e bölümünden kalan 3)
\( x \equiv -2 \pmod{7} \equiv 5 \pmod{7} \) (Öğrenci sayısının 7'ye bölümünden kalan 5)
Şimdi bu koşulları sağlayan en küçük \( x \) değerini bulalım:
\( x = 5k + 3 \) formundaki sayıları deneyelim: 3, 8, 13, 18, 23, 28, ...
Bu sayılardan hangisi 7'ye bölündüğünde 5 kalır?
8'in 7'ye bölümünden kalan 1.
13'ün 7'ye bölümünden kalan 6.
18'in 7'ye bölümünden kalan 4.
23'ün 7'ye bölümünden kalan 2.
28'in 7'ye bölümünden kalan 0.
33'ün 7'ye bölümünden kalan 5. (33 = 4 x 7 + 5)
En az öğrenci sayısı 33'tür. ✅
Örnek 6:
Günlük Hayattan Örnek: Pasta Dilimleri
Bir pastanede yapılan 48 dilimlik büyük bir pasta, eşit sayıda dilimlere ayrılacak şekilde birkaç küçük kutuya konulacaktır. Bu pasta kutulara aşağıdaki gibi yerleştirilebilir:
Her kutuya 6 dilim konulursa, pasta tam olarak kaç kutuya sığar?
Eğer her kutuya 8 dilim konulursa, kaç kutu kullanılır?
Her kutuya 5 dilim konulursa ne olur?
Çözüm:
Bu problem, bölünebilme kavramının temelini oluşturur. Toplam pasta dilimi sayısını kutu başına düşen dilim sayısına bölerek kaç kutu gerektiğini bulabiliriz.
Her kutuya 6 dilim konulursa:
Bölme işlemi: \( 48 \div 6 \)
Sonuç: \( 8 \)
Yani, 8 kutu kullanılır. ✅
Her kutuya 8 dilim konulursa:
Bölme işlemi: \( 48 \div 8 \)
Sonuç: \( 6 \)
Yani, 6 kutu kullanılır. ✅
Her kutuya 5 dilim konulursa:
Bölme işlemi: \( 48 \div 5 \)
Sonuç: Bölüm 9, Kalan 3.
Bu durumda, 9 kutu tam dolar ve 3 dilim pasta artar. Tam olarak kutulara sığdırmak için ek bir kutu daha gerekebilir veya kalan dilimler ayrı bir şekilde paketlenir. 💡
Bu örnek, bir bütünün parçalara ayrılmasında bölme işleminin nasıl kullanıldığını göstermektedir. 📌
Örnek 7:
Kombine Bölünebilme Sorusu
Verilen ABC üç basamaklı sayısının özellikleri şunlardır:
Sayı 3'e tam bölünmektedir.
Sayı 4'e tam bölünmektedir.
Sayı 5'e bölündüğünde 2 kalmaktadır.
Bu bilgilere göre A + B + C toplamı kaçtır?
Çözüm:
Şimdi bu koşulları adım adım uygulayarak sayıyı ve rakamlarını bulalım:
5'e bölündüğünde 2 kalan: Bu, sayının birler basamağının (C) 2 veya 7 olması gerektiği anlamına gelir.
4'e tam bölünme: Bu, sayının son iki basamağının (BC) 4'ün katı olması gerektiği anlamına gelir.
Eğer C = 2 ise, BC sayısının 4'ün katı olması için B'nin çift olması gerekir (B0, B2, B4, B6, B8). Örneğin, 22, 42, 62, 82 olmaz. 12, 32, 52, 72, 92 olur.
Eğer C = 7 ise, BC sayısının 4'ün katı olması için B'nin tek olması gerekir. Örneğin, 17, 37, 57, 77, 97 olmaz. 07, 27, 47, 67, 87 olmaz. Bu durumda C=7 olamaz çünkü BC'nin 4'ün katı olması için B çift olmalıydı (son iki basamak 10'dan büyük çift sayı olmalı). Ancak C=7 ise BC'nin 4'ün katı olması için B'nin tek olması gerekir. Bu çelişki yaratır.
Dolayısıyla, C = 2 olmalıdır.
Şimdi C=2 olduğunu bildiğimize göre, BC'nin 4'ün katı olması için B'nin alabileceği değerler: 1, 3, 5, 7, 9. (Örn: 12, 32, 52, 72, 92)
3'e tam bölünme: Sayının rakamları toplamı (A + B + C) 3'ün katı olmalıdır.
Şimdi bu bilgileri birleştirelim:
C = 2
B ∈ {1, 3, 5, 7, 9}
A ∈ {1, 2, ..., 9} (Üç basamaklı sayı olduğu için A sıfır olamaz)
\( A + B + 2 \) 3'ün katı olmalı.
B'nin olası değerlerini deneyelim:
Eğer B = 1 ise: \( A + 1 + 2 = A + 3 \). A'nın 3, 6, 9 olması durumunda toplam 3'ün katı olur. (Sayılar: 312, 612, 912)
Eğer B = 3 ise: \( A + 3 + 2 = A + 5 \). A'nın 1, 4, 7 olması durumunda toplam 3'ün katı olur. (Sayılar: 132, 432, 732)
Eğer B = 5 ise: \( A + 5 + 2 = A + 7 \). A'nın 2, 5, 8 olması durumunda toplam 3'ün katı olur. (Sayılar: 252, 552, 852)
Eğer B = 7 ise: \( A + 7 + 2 = A + 9 \). A'nın 3, 6, 9 olması durumunda toplam 3'ün katı olur. (Sayılar: 372, 672, 972)
Eğer B = 9 ise: \( A + 9 + 2 = A + 11 \). A'nın 1, 4, 7 olması durumunda toplam 3'ün katı olur. (Sayılar: 192, 492, 792)
Bu sayılardan herhangi biri sorudaki koşulları sağlar. Örneğin 312 sayısını kontrol edelim:
312 / 3 = 104 (Tam bölünür)
312 / 4 = 78 (Tam bölünür)
312 / 5 = 62 kalan 2 (Tamam)
Herhangi bir çözümde rakamlar toplamı aynı olacaktır.
Örneğin, 312 için A+B+C = \( 3 + 1 + 2 = 6 \). 6, 3'ün katıdır. ✅
En küçük rakamları toplamı 6'dır. Soruda spesifik bir sayı sorulmadığı için genel toplam sorulmuştur.
Yani, A + B + C = 6 (veya 9, 12, 15, 18 gibi 3'ün katı olan başka bir değer de olabilir, ancak en küçük değer sorulmuş gibi yorumlanabilir veya soruda bir eksiklik olabilir. Genellikle bu tür sorularda rakamları toplamının en küçük değeri sorulur.)
Sorunun tam ifadesi "ABC sayısının rakamları toplamı kaçtır?" ise ve birden fazla olasılık varsa, sorunun en küçük değeri sorması beklenir. Bu durumda en küçük toplam 6'dır.
Örnek 8:
YKS Tarzı Soru: Kalan İlişkisi
Bir \( n \) pozitif tam sayısı 7'ye bölündüğünde 3 kalanını vermektedir. Aynı \( n \) sayısı 5'e bölündüğünde ise 4 kalanını vermektedir.
Buna göre, \( n \) sayısının 35'e bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
Bu problemi matematiksel olarak şu şekilde ifade edebiliriz:
\( n \equiv 3 \pmod{7} \)
\( n \equiv 4 \pmod{5} \)
Bu, \( n \) sayısının 7'nin katlarından 3 fazla olduğunu ve 5'in katlarından 4 fazla olduğunu gösterir.
Şimdi bu koşulları sağlayan en küçük \( n \) sayısını bulmaya çalışalım.
Birinci koşuldan \( n \) değerleri: 3, 10, 17, 24, 31, 38, ...
İkinci koşuldan \( n \) değerleri: 4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, ...
Her iki listede de ortak olan ilk sayı 24'tür. Demek ki \( n \) sayısı 24 olabilir.
Şimdi 24 sayısını 35'e bölelim:
\( 24 \div 35 \)
Bölüm 0, Kalan 24.
Bu durumda \( n \) sayısının 35'e bölümünden kalan 24'tür.
Bu tür problemler Çin Kalan Teoremi ile de çözülebilir ancak 10. sınıf müfredatında bu teorem doğrudan işlenmeyebilir. Yukarıdaki gibi deneme-yanılma yöntemi veya denklem kurma ile çözmek daha uygundur.
Genel olarak, eğer \( n \equiv a \pmod{m} \) ve \( n \equiv b \pmod{k} \) ise ve \( m \) ile \( k \) aralarında asalsa, \( n \pmod{mk} \) tek bir değere sahiptir.
Bu durumda, \( n \equiv 24 \pmod{35} \) yani \( n \) sayısının 35'e bölümünden kalan 24'tür. ✅
Örnek 9:
Günlük Hayattan Örnek: Grup Oluşturma
Bir izci kampına katılan 75 öğrenci vardır. Bu öğrenciler, bazı etkinlikler için gruplara ayrılacaktır.
Eğer her grupta 5 öğrenci olursa, kaç grup oluşur?
Eğer her grupta 6 öğrenci olursa, kaç grup oluşur ve kaç öğrenci artar?
Eğer 10 kişilik gruplar halinde çalışırlarsa, kaç grup oluşur?
Çözüm:
Bu örnek, bölme işleminin pratik kullanımını göstermektedir. Toplam öğrenci sayısını grup büyüklüğüne bölerek grupların sayısını ve olası artan öğrenci sayısını bulabiliriz.
Her grupta 5 öğrenci olursa:
Bölme işlemi: \( 75 \div 5 \)
Sonuç: \( 15 \)
Bu durumda 15 grup oluşur ve hiç öğrenci artmaz. ✅
Her grupta 6 öğrenci olursa:
Bölme işlemi: \( 75 \div 6 \)
Sonuç: Bölüm 12, Kalan 3.
Bu durumda 12 grup oluşur ve 3 öğrenci artar. 💡
10 kişilik gruplar halinde çalışırlarsa:
Bölme işlemi: \( 75 \div 10 \)
Sonuç: Bölüm 7, Kalan 5.
Bu durumda 7 grup oluşur ve 5 öğrenci artar. 📌
Bu tür senaryolar, bir bütünün eşit parçalara bölünmesi veya kalanlı bölünmesi durumlarını anlamamıza yardımcı olur.