Bölme ve bölünebilme Ders Notu

Bölme ve Bölünebilme Kuralları

Bu bölümde, doğal sayılarla ilgili temel bölme kavramlarını ve sayılarının belirli sayılara kalansız bölünebilme kurallarını öğreneceğiz. Bu kurallar, büyük sayıların bölünebilme durumlarını hızlıca anlamamızı sağlar.

1. Bölme İşlemi

Bir \(a\) doğal sayısının, sıfırdan farklı bir \(b\) doğal sayısına bölümünden elde edilen sonuç ve kalan ile ilgili işlem bölme işlemidir. Matematiksel olarak şu şekilde ifade edilir:

\[ a = b \cdot q + r \]

Burada:

• \(a\): Bölünen
• \(b\): Bölen ( \(b \neq 0\) )
• \(q\): Bölüm
• \(r\): Kalan

Bölme işleminde kalanın, bölenden küçük olması gerekir: \( 0 \le r < b \).

2. Bölünebilme Kuralları

Bir sayının belirli bir sayıya kalansız bölünüp bölünmediğini anlamamızı sağlayan kurallardır. Bu kurallar, sayının rakamları veya son basamakları ile ilgilidir.

2.1. 2 ile Bölünebilme

Bir doğal sayının son basamağı çift ise (0, 2, 4, 6, 8), o sayı 2 ile kalansız bölünür. 🤔

• Örnek: 124, 568, 90

2.2. 3 ile Bölünebilme

Bir doğal sayının rakamları toplamı 3'ün katı ise, o sayı 3 ile kalansız bölünür.

• Örnek: 135 (1+3+5=9, 9 sayısı 3'ün katıdır.)
• Örnek: 729 (7+2+9=18, 18 sayısı 3'ün katıdır.)

2.3. 4 ile Bölünebilme

Bir doğal sayının son iki basamağının oluşturduğu sayı 4'ün katı ise, o sayı 4 ile kalansız bölünür.

• Örnek: 516 (16 sayısı 4'ün katıdır.)
• Örnek: 1208 (08 sayısı 4'ün katıdır.)

2.4. 5 ile Bölünebilme

Bir doğal sayının son basamağı 0 veya 5 ise, o sayı 5 ile kalansız bölünür. ✅

• Örnek: 250, 175, 90

2.5. 6 ile Bölünebilme

Bir doğal sayı hem 2 ile hem de 3 ile kalansız bölünebiliyorsa, o sayı 6 ile kalansız bölünür.

• Örnek: 432 (Son basamağı 2'dir, 2 ile bölünür. Rakamları toplamı 4+3+2=9'dur, 3 ile bölünür. Bu nedenle 6 ile de bölünür.)

2.6. 8 ile Bölünebilme

Bir doğal sayının son üç basamağının oluşturduğu sayı 8'in katı ise, o sayı 8 ile kalansız bölünür.

• Örnek: 1232 (32 sayısı 8'in katı değildir. 1232'yi 8'e böldüğümüzde kalan 0 olur. 32'nin 8'in katı olması gerekmez, son üç basamağın oluşturduğu sayının 8'in katı olması gerekir. 232 sayısı 8'e tam bölünür (232 = 8 * 29). O halde 1232 sayısı 8 ile kalansız bölünür.)
• Örnek: 5000 (000 sayısı 8'in katıdır.)

2.7. 9 ile Bölünebilme

Bir doğal sayının rakamları toplamı 9'un katı ise, o sayı 9 ile kalansız bölünür.

• Örnek: 189 (1+8+9=18, 18 sayısı 9'un katıdır.)
• Örnek: 540 (5+4+0=9, 9 sayısı 9'un katıdır.)

2.8. 10 ile Bölünebilme

Bir doğal sayının son basamağı 0 ise, o sayı 10 ile kalansız bölünür. ✨

• Örnek: 340, 1000, 70

2.9. 11 ile Bölünebilme

Bir doğal sayının rakamları, sağdan sola doğru sırasıyla +, -, +, -, ... şeklinde işaretlenip toplandığında elde edilen sonucun 0 veya 11'in katı olması durumunda, o sayı 11 ile kalansız bölünür.

• Örnek: 3465 (Sağdan başlayarak: +5, -6, +4, -3. Toplam: \(5 - 6 + 4 - 3 = 0\). Sonuç 0 olduğu için 3465 sayısı 11 ile kalansız bölünür.)
• Örnek: 98765 (Sağdan başlayarak: +5, -6, +7, -8, +9. Toplam: \(5 - 6 + 7 - 8 + 9 = 7\). Sonuç 11'in katı olmadığı için 98765 sayısı 11 ile kalansız bölünmez.)

3. Ortak Kat ve Ortak Bölen Kavramları

İki veya daha fazla doğal sayıyı kalansız bölen en büyük doğal sayıya bu sayıların En Büyük Ortak Böleni (EBOB) denir. İki veya daha fazla doğal sayının ortak katlarının en küçüğüne ise En Küçük Ortak Katı (EKOK) denir.

3.1. EBOB (En Büyük Ortak Bölen)

Örnek: 12 ve 18 sayılarının EBOB'unu bulalım.

• 12'nin bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 12
• 18'in bölenleri: 1, 2, 3, 6, 9, 18
• Ortak bölenler: 1, 2, 3, 6
• En büyük ortak bölen: 6. Yani EBOB(12, 18) = 6'dır.

3.2. EKOK (En Küçük Ortak Kat)

Örnek: 12 ve 18 sayılarının EKOK'unu bulalım.

• 12'nin katları: 12, 24, 36, 48, 60, 72, ...
• 18'in katları: 18, 36, 54, 72, ...
• Ortak katlar: 36, 72, ...
• En küçük ortak kat: 36. Yani EKOK(12, 18) = 36'dır.

İki pozitif tam sayının çarpımı, bu sayıların EBOB'u ile EKOK'unun çarpımına eşittir: \( a \cdot b = \text{EBOB}(a, b) \cdot \text{EKOK}(a, b) \).