🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Bir doğal sayının çarpanları ve bölenleri arasındaki ilişkiler Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Bir doğal sayının çarpanları ve bölenleri arasındaki ilişkiler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
12 sayısının tüm pozitif tam bölenlerini bulunuz.
Çözüm:
12 sayısının pozitif tam bölenlerini bulmak için sayıyı asal çarpanlarına ayırabiliriz.
- 12 = \( 2^2 \times 3^1 \)
- Bölenleri bulmak için asal çarpanların üslerini bir artırıp çarparak yeni üsler elde ederiz.
- 2'nin üssü: \( 2+1 = 3 \)
- 3'ün üssü: \( 1+1 = 2 \)
- Oluşturabileceğimiz farklı üs kombinasyonları:
- \( 2^0 \times 3^0 = 1 \times 1 = 1 \)
- \( 2^1 \times 3^0 = 2 \times 1 = 2 \)
- \( 2^2 \times 3^0 = 4 \times 1 = 4 \)
- \( 2^0 \times 3^1 = 1 \times 3 = 3 \)
- \( 2^1 \times 3^1 = 2 \times 3 = 6 \)
- \( 2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12 \)
Örnek 2:
36 sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısını bulunuz.
Çözüm:
Bir doğal sayının pozitif tam bölenlerinin sayısını bulmak için öncelikle o sayıyı asal çarpanlarına ayırmalıyız.
- 36 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
- 36 = \( 2 \times 18 \)
- 36 = \( 2 \times 2 \times 9 \)
- 36 = \( 2^2 \times 3^2 \)
- Asal çarpanlarına ayırdıktan sonra, her bir asal çarpanın üssünü bir artırıp bu yeni üsleri birbiriyle çarparız.
- Üsler sırasıyla 2 ve 2'dir.
- Yeni üsler: \( (2+1) \) ve \( (2+1) \)
- Bölen sayısı = \( (2+1) \times (2+1) = 3 \times 3 = 9 \)
Örnek 3:
100 sayısının asal çarpanlarını bulunuz.
Çözüm:
Bir sayının asal çarpanları, o sayıyı oluşturan ve sadece 1'e ve kendisine bölünebilen sayılardır.
- 100 sayısını asal çarpanlarına ayırarak bu çarpanları bulalım:
- 100 = \( 2 \times 50 \)
- 100 = \( 2 \times 2 \times 25 \)
- 100 = \( 2 \times 2 \times 5 \times 5 \)
- 100 = \( 2^2 \times 5^2 \)
- Bu asal çarpanlarına ayırma sonucunda elde ettiğimiz farklı asal sayılar, 100'ün asal çarpanlarıdır.
Örnek 4:
48 sayısının en büyük iki pozitif tam bölenini bulunuz.
Çözüm:
Bir sayının en büyük pozitif tam böleni her zaman kendisine eşittir. Bir sayının kendisinden sonraki en büyük pozitif tam böleni ise o sayının kendisine bölümünden elde edilen en küçük pozitif tam bölendir (yani 1'den büyük en küçük böleni).
- 48 sayısının en büyük pozitif tam böleni 48'dir.
- Şimdi 48'in kendisinden küçük en büyük bölenini bulalım. Bunun için 48'i oluşturan asal çarpanlara bakabiliriz veya küçükten başlayarak bölenlerini deneyebiliriz.
- 48 = \( 2^4 \times 3^1 \)
- 48'in bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
- Bu listede 48'den küçük en büyük sayı 24'tür.
Örnek 5:
Bir pastanede çalışan Ayşe Hanım, 60 adet kurabiyeyi eşit sayıda paketlemek istiyor. Ayşe Hanım, her pakette kaç kurabiye olabileceğini ve bu durumda kaç paket yapabileceğini gösteren kaç farklı seçenek olduğunu bulmak istiyor.
Çözüm:
Bu problemde Ayşe Hanım'ın elindeki 60 kurabiyeyi eşit sayıda paketleyebilmesi için, her paketteki kurabiye sayısı 60'ın bir böleni olmalıdır. Aynı zamanda, paket sayısı da 60'ın bir böleni olacaktır. Dolayısıyla, bu problem 60 sayısının bölenlerini bulma problemidir.
- Öncelikle 60 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
- 60 = \( 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \)
- Şimdi 60'ın pozitif tam bölenlerinin sayısını bulalım. Üsleri birer artırıp çarparız:
- Bölen sayısı = \( (2+1) \times (1+1) \times (1+1) = 3 \times 2 \times 2 = 12 \)
- Bu 12 farklı bölen, Ayşe Hanım'ın her pakete koyabileceği kurabiye sayısını temsil eder. Her bir bölen değeri için paket sayısı da belirlenmiş olur.
- Örneğin:
- Eğer pakette 1 kurabiye olursa, 60 paket yapılır.
- Eğer pakette 2 kurabiye olursa, 30 paket yapılır.
- Eğer pakette 3 kurabiye olursa, 20 paket yapılır.
- Eğer pakette 4 kurabiye olursa, 15 paket yapılır.
- Eğer pakette 5 kurabiye olursa, 12 paket yapılır.
- Eğer pakette 6 kurabiye olursa, 10 paket yapılır.
- Eğer pakette 10 kurabiye olursa, 6 paket yapılır.
- Eğer pakette 12 kurabiye olursa, 5 paket yapılır.
- Eğer pakette 15 kurabiye olursa, 4 paket yapılır.
- Eğer pakette 20 kurabiye olursa, 3 paket yapılır.
- Eğer pakette 30 kurabiye olursa, 2 paket yapılır.
- Eğer pakette 60 kurabiye olursa, 1 paket yapılır.
Örnek 6:
Bir matematik öğretmeni, öğrencilerine asal çarpanlar konusunu pekiştirmek için bir oyun tasarlıyor. Oyunda verilen sayının asal çarpanlarının toplamı kadar puan kazanılıyor. Örneğin, 12 sayısının asal çarpanları 2 ve 3'tür. Bu sayının puanı \( 2+3=5 \) olur. Bu kurala göre, 72 sayısının alacağı puan kaçtır?
Çözüm:
Öncelikle 72 sayısını asal çarpanlarına ayırmamız gerekiyor.
- 72 = \( 2 \times 36 \)
- 72 = \( 2 \times 2 \times 18 \)
- 72 = \( 2 \times 2 \times 2 \times 9 \)
- 72 = \( 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \)
- Bu durumda 72'nin asal çarpanlarına ayrılmış hali \( 2^3 \times 3^2 \) olur.
- 72 sayısının farklı asal çarpanları 2 ve 3'tür. (Üsler dikkate alınmaz, sadece farklı asal sayılar alınır.)
- Oyundaki kurala göre, bu sayının puanı asal çarpanlarının toplamıdır.
- Puan = \( 2 + 3 = 5 \)
Örnek 7:
180 sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısını bulunuz.
Çözüm:
Bir doğal sayının pozitif tam bölenlerinin sayısını bulmak için öncelikle o sayıyı asal çarpanlarına ayırmalıyız.
- 180 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
- 180 = \( 18 \times 10 \)
- 180 = \( (2 \times 9) \times (2 \times 5) \)
- 180 = \( (2 \times 3^2) \times (2 \times 5) \)
- 180 = \( 2^2 \times 3^2 \times 5^1 \)
- Asal çarpanlarına ayırdıktan sonra, her bir asal çarpanın üssünü bir artırıp bu yeni üsleri birbiriyle çarparız.
- Üsler sırasıyla 2, 2 ve 1'dir.
- Yeni üsler: \( (2+1) \), \( (2+1) \) ve \( (1+1) \)
- Bölen sayısı = \( (2+1) \times (2+1) \times (1+1) = 3 \times 3 \times 2 = 18 \)
Örnek 8:
24 sayısının en küçük üç pozitif tam bölenini bulunuz.
Çözüm:
Bir sayının pozitif tam bölenleri, sayıyı kalansız bölen pozitif tam sayılardır. Bu bölenler küçükten büyüğe doğru sıralandığında, en küçükleri her zaman 1'dir.
- 24 sayısının pozitif tam bölenlerini bulalım:
- 24 = \( 1 \times 24 \)
- 24 = \( 2 \times 12 \)
- 24 = \( 3 \times 8 \)
- 24 = \( 4 \times 6 \)
- 24'ün pozitif tam bölenleri şunlardır: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
- Bu bölenleri küçükten büyüğe sıraladığımızda ilk üç tanesi şunlardır:
Örnek 9:
Bir teknoloji mağazasında, yeni çıkan bir akıllı telefonun fiyatı x TL'dir. Mağaza müdürü, bu fiyatın iki basamaklı bir doğal sayı olduğunu ve kendisi hariç tüm pozitif tam bölenlerinin sayısının 6 olduğunu belirtmiştir. Buna göre, akıllı telefonun fiyatı (x) kaç farklı değer alabilir?
Çözüm:
Bu soruda verilen bilgiler, x'in bir doğal sayı olduğunu ve kendisi hariç 6 tane pozitif tam böleni olduğunu söylüyor. Bu da demek oluyor ki, x sayısının toplam 7 tane pozitif tam böleni vardır.
- Bir sayının pozitif tam bölenlerinin sayısının 7 olması için, o sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali \( p^6 \) şeklinde olmalıdır. Çünkü \( (6+1) = 7 \).
- Burada p bir asal sayıdır.
- Ayrıca, x'in iki basamaklı bir doğal sayı olması gerektiğini biliyoruz.
- Şimdi farklı asal sayılar (p) için \( p^6 \) değerlerini hesaplayalım ve iki basamaklı olup olmadıklarını kontrol edelim:
- Eğer p = 2 ise, \( x = 2^6 = 64 \). Bu sayı iki basamaklıdır.
- Eğer p = 3 ise, \( x = 3^6 = 729 \). Bu sayı üç basamaklıdır.
- Daha büyük asal sayılar için \( p^6 \) değerleri çok daha büyük olacağından, iki basamaklı olma ihtimalleri yoktur.
- Dolayısıyla, x'in alabileceği tek değer 64'tür.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-bir-dogal-sayinin-carpanlari-ve-bolenleri-arasindaki-iliskiler/sorular