Bir doğal sayının çarpanları ve bölenleri arasındaki ilişkiler Ders Notu

Bir Doğal Sayının Çarpanları ve Bölenleri Arasındaki İlişkiler

Bir doğal sayının çarpanları ve bölenleri kavramları birbirine çok yakındır. Hatta çoğu zaman bu iki terim birbirinin yerine kullanılabilir. Bir sayıyı kalansız bölebilen her sayı, o sayının bölenidir. Aynı zamanda, bu bölenler aynı zamanda o sayının çarpanlarıdır. Örneğin, 12 sayısının bölenleri 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir. Bu sayılar aynı zamanda 12'nin çarpanlarıdır, çünkü 12'yi elde etmek için bu sayıları başka tam sayılarla çarpabiliriz: \(1 \times 12\), \(2 \times 6\), \(3 \times 4\).

Çarpan ve Bölen İlişkisi

Bir \(a\) doğal sayısının bölenleri aynı zamanda \(a\) sayısının çarpanlarıdır. Eğer \(b\), \(a\) sayısını kalansız bölüyorsa, \(b\) aynı zamanda \(a\) sayısının bir çarpanıdır. Bu ilişkiyi daha iyi anlamak için bazı temel tanımlara bakalım:

• Bölen: Bir \(a\) doğal sayısını kalansız bölen her \(b\) doğal sayısına \(a\) sayısının bir böleni denir.
• Çarpan: Bir \(a\) doğal sayısını elde etmek için çarpılan sayılara \(a\) sayısının çarpanları denir.

Örnek olarak 18 sayısını ele alalım:

• 18'in bölenleri: 1, 2, 3, 6, 9, 18'dir.
• 18'in çarpanları: \(1 \times 18\), \(2 \times 9\), \(3 \times 6\). Bu çarpımlarda yer alan sayılar (1, 18, 2, 9, 3, 6) 18'in çarpanlarıdır.

Görüldüğü gibi, 18'in bölenleri ile çarpanları aynı kümeyi oluşturmaktadır.

Asal Çarpanlar

Bir doğal sayının çarpanları arasında özel bir yere sahip olan asal sayılar vardır. Bir sayının asal çarpanları, o sayıyı oluşturan asal sayılardır. Her doğal sayı, 1'den büyük olmak koşuluyla, ya kendisi asal sayıdır ya da asal sayıların çarpımı şeklinde yazılabilir. Bu yazılışa asal çarpanlarına ayırma denir.

Asal Çarpanlarına Ayırma Örneği

24 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

24 sayısını bölebilen en küçük asal sayı 2'dir.

• \(24 \div 2 = 12\)
• 12'yi bölebilen en küçük asal sayı yine 2'dir. \(12 \div 2 = 6\)
• 6'yı bölebilen en küçük asal sayı yine 2'dir. \(6 \div 2 = 3\)
• 3'ü bölebilen en küçük asal sayı 3'tür. \(3 \div 3 = 1\)

Böylece 24 sayısını asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazabiliriz:

\[24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3\]

Bu ifade üslü biçimde de gösterilebilir:

\[24 = 2^3 \times 3^1\]

Burada 2 ve 3, 24 sayısının asal çarpanlarıdır.

Çarpan ve Bölen Sayısının Hesaplanması

Bir sayının asal çarpanlarını bulduktan sonra, o sayının kaç tane böleni (veya çarpanı) olduğunu da hesaplayabiliriz. Bir \(N\) doğal sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali \(N = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \dots \times p_k^{a_k}\) şeklinde ise, \(N\) sayısının pozitif bölenlerinin sayısı şu formülle bulunur:

\[ \text{Bölen Sayısı} = (a_1 + 1) \times (a_2 + 1) \times \dots \times (a_k + 1) \]

Örnek: 36 Sayısının Bölen Sayısı

36 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

• \(36 \div 2 = 18\)
• \(18 \div 2 = 9\)
• \(9 \div 3 = 3\)
• \(3 \div 3 = 1\)

Asal çarpanlarına ayrılmış hali: \(36 = 2^2 \times 3^2\)

Burada asal çarpanlar 2 ve 3'tür. Üsleri ise 2 ve 2'dir.

Bölen sayısını hesaplamak için formülü kullanalım:

\[ \text{Bölen Sayısı} = (2 + 1) \times (2 + 1) = 3 \times 3 = 9 \]

Yani 36 sayısının 9 tane pozitif böleni vardır. Bunlar: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36'dır.

Tek ve Çift Bölenler

Bir sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali \(N = 2^a \times p_2^{a_2} \times \dots \times p_k^{a_k}\) şeklinde ise (burada \(p_2, \dots, p_k\) tek asal sayılardır):

• Tek Bölenler: Sayının tek bölenlerini bulmak için, asal çarpanlarına ayırmada 2'nin üssünü 0 kabul ederiz. Yani, \(N_{\text{tek}} = p_2^{a_2} \times \dots \times p_k^{a_k}\) sayısının bölen sayısı kadar tek böleni vardır. Tek bölen sayısı \( (a_2 + 1) \times \dots \times (a_k + 1) \) formülü ile bulunur.
• Çift Bölenler: Bir sayının çift bölenleri, toplam bölen sayısı ile tek bölen sayısının farkına eşittir. Veya, çift bölenleri bulmak için 2'nin üssünün en az 1 olması gerekir.

Örnek: 72 Sayısının Tek ve Çift Bölenleri

72 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

• \(72 \div 2 = 36\)
• \(36 \div 2 = 18\)
• \(18 \div 2 = 9\)
• \(9 \div 3 = 3\)
• \(3 \div 3 = 1\)

Asal çarpanlarına ayrılmış hali: \(72 = 2^3 \times 3^2\)

Toplam Bölen Sayısı: \( (3+1) \times (2+1) = 4 \times 3 = 12 \)

Tek Bölen Sayısı: 72'nin tek bölenleri, 3'ün kuvvetleri ile oluşan sayılardır. Yani \(3^2\) sayısının bölen sayısı kadar tek böleni vardır. Tek bölen sayısı: \( (2+1) = 3 \). Bu tek bölenler: \(3^0=1\), \(3^1=3\), \(3^2=9\)'dur.

Çift Bölen Sayısı: Toplam bölen sayısı - Tek bölen sayısı = \(12 - 3 = 9\).

Alternatif olarak, çift bölenler için 2'nin üssünü en az 1 alarak hesaplayabiliriz. Ancak bu yöntem biraz daha karmaşıktır. En kolayı toplam bölen sayısından tek bölen sayısını çıkarmaktır.

Tam Kare Sayılar

Bir doğal sayının pozitif bölen sayısının tek olması için, o sayının bir tam kare olması gerekir. Eğer bir sayının bölen sayısı tek ise, bu sayı bir tam karedir.

Örnek: Tam Kare Sayılar

• 9 sayısının bölenleri: 1, 3, 9. (3 tane, tek sayı)
• 16 sayısının bölenleri: 1, 2, 4, 8, 16. (5 tane, tek sayı)
• 25 sayısının bölenleri: 1, 5, 25. (3 tane, tek sayı)

Bu durum, tam kare sayılarda her bölenin bir eşleşen çarpanı olmasından kaynaklanır. Ancak tam kare sayının karekökü olan sayı, kendisiyle eşleştiği için tek başına kalır ve bu da bölen sayısının tek olmasına yol açar.

Örneğin 16 sayısının bölenleri:

• \(1 \times 16\)
• \(2 \times 8\)
• \(4 \times 4\)

Burada 4 sayısı kendisiyle eşleşmiştir. Bu nedenle bölen sayısı tek olmuştur.