📄 10. Sınıf Matematik: Bir doğal sayının çarpanları ve bölenleri arasındaki ilişkiler Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

120 sayısını asal çarpanlarına ayırırız: \(120 = 2 \times 60 = 2 \times 2 \times 30 = 2 \times 2 \times 2 \times 15 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1\).

Bu sayının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir.

Pozitif tam bölen sayısını bulmak için üsleri birer artırıp çarparız: \((3+1) \times (1+1) \times (1+1) = 4 \times 2 \times 2 = 16\).

120 sayısının 16 tane pozitif tam böleni vardır.

Pozitif tam bölenleri listelemek daha uzun bir işlemdir ancak üslerin farklı kombinasyonları ile elde edilirler (örneğin: \(2^0 \times 3^0 \times 5^0 = 1\), \(2^1 \times 3^0 \times 5^0 = 2\), \(2^3 \times 3^1 \times 5^1 = 120\) gibi).

💡 Çözüm Adımları:

Öncelikle 200 sayısını asal çarpanlarına ayırırız: \(200 = 2 \times 100 = 2 \times 10^2 = 2 \times (2 \times 5)^2 = 2 \times 2^2 \times 5^2 = 2^3 \times 5^2\).

Toplam pozitif tam bölen sayısını bulmak için üsleri birer artırıp çarparız: \((3+1) \times (2+1) = 4 \times 3 = 12\).

Bu sayının 12 tane pozitif tam böleni vardır.

Çift bölenleri bulmak için, bölenin içinde en az bir tane 2 çarpanı bulunmalıdır. Bu durumda, 2'nin üssü en az 1 olmalıdır. Yani, \(2^a \times 5^b\) formunda bölenlerde \(a \in \{1, 2, 3\}\) ve \(b \in \{0, 1, 2\}\) olmalıdır.

Çift bölen sayısını hesaplamak için, 2'nin üssü için \(3\) seçenek (1, 2, 3) ve 5'in üssü için \(2+1 = 3\) seçenek (0, 1, 2) vardır. Dolayısıyla çift bölen sayısı \(3 \times 3 = 9\) olur.

💡 Çözüm Adımları:

a) 13 sayısı asal bir sayıdır. Çünkü 1'den büyük ve sadece 1'e ve kendisine (13'e) kalansız bölünebilmektedir. Bu nedenle bu ifade DOĞRU'dur.
b) 1 sayısı asal bir sayıdır. Asal sayı tanımına göre, 1'den büyük olmalı ve sadece 1'e ve kendisine bölünebilmelidir. 1 sayısı 1'den büyük değildir ve sadece 1'e bölünebilir. Bu nedenle 1 asal sayı değildir. Bu ifade YANLIŞ'tır.
c) Bir sayının çarpanları ile bölenleri farklı kümelerdir. Bir sayının çarpanları, o sayıyı oluşturan çarpma işlemindeki sayılardır. Bir sayının bölenleri ise o sayıyı kalansız olarak bölen pozitif tam sayılardır. Örneğin 12 sayısının çarpanları olarak \(2 \times 6\), \(3 \times 4\) gibi düşünülebilir. Ancak 12'nin bölenleri ise 1, 2, 3, 4, 6, 12'dir. Bu bağlamda, pozitif tam bölenler kümesi ile çarpanlar kümesi aynıdır. İfade YANLIŞ'tır.