🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Bir Doğal Sayı İle Çarpanları Ve Bölenleri Arasındaki İlişkiler Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Bir Doğal Sayı İle Çarpanları Ve Bölenleri Arasındaki İlişkiler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
💡 60 sayısının pozitif tam sayı çarpanlarını (bölenlerini) bulunuz.
Çözüm:
Bir sayının çarpanları, o sayıyı kalansız bölen sayılardır.
- 👉 60 sayısının çarpanlarını bulmak için, hangi iki sayının çarpımının 60 ettiğini düşünmeliyiz:
- \(1 \times 60 = 60\)
- \(2 \times 30 = 60\)
- \(3 \times 20 = 60\)
- \(4 \times 15 = 60\)
- \(5 \times 12 = 60\)
- \(6 \times 10 = 60\)
- ✅ Bu durumda, 60 sayısının pozitif tam sayı çarpanları (bölenleri) şunlardır:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.
Örnek 2:
📌 120 sayısının asal çarpanlarını bulunuz ve asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazınız.
Çözüm:
Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak için bölme algoritmasını kullanırız.
- 👉 120 sayısını en küçük asal sayıdan başlayarak bölmeye başlayalım:
- \[120 \div 2 = 60\]
- \[60 \div 2 = 30\]
- \[30 \div 2 = 15\]
- \[15 \div 3 = 5\]
- \[5 \div 5 = 1\]
- ✅ Bu durumda, 120 sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. Asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazılışı ise:
\[120 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1\]
Örnek 3:
💡 144 sayısının kaç tane pozitif tam sayı çarpanı (böleni) olduğunu bulunuz.
Çözüm:
Bir sayının pozitif tam sayı çarpanlarının sayısını bulmak için öncelikle sayıyı asal çarpanlarına ayırırız.
- 👉 144 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
- \[144 = 2 \times 72 = 2 \times 2 \times 36 = 2 \times 2 \times 2 \times 18 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 9 = 2^4 \times 3^2\]
- 👉 Şimdi, asal çarpanların üslerini birer artırıp çarparak pozitif bölen sayısını buluruz.
- 2'nin üssü 4, 3'ün üssü 2'dir.
- Pozitif Bölen Sayısı \( = (4+1) \times (2+1) \)
- \( = 5 \times 3 \)
- \( = 15 \)
- ✅ 144 sayısının 15 tane pozitif tam sayı çarpanı (böleni) vardır.
Örnek 4:
📌 72 sayısının pozitif tam sayı çarpanlarının (bölenlerinin) toplamını bulunuz.
Çözüm:
Bir sayının pozitif tam sayı çarpanlarının toplamını bulmak için sayıyı asal çarpanlarına ayırırız.
- 👉 72 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
- \[72 = 2 \times 36 = 2 \times 2 \times 18 = 2 \times 2 \times 2 \times 9 = 2^3 \times 3^2\]
- 👉 Pozitif bölenlerin toplamını bulmak için, her asal çarpanın kuvvetlerini sıfırdan başlayarak artırırız ve oluşan terimleri çarparız:
- \[(2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3) \times (3^0 + 3^1 + 3^2)\]
- \[(1 + 2 + 4 + 8) \times (1 + 3 + 9)\]
- \[15 \times 13\]
- \[195\]
- ✅ 72 sayısının pozitif tam sayı çarpanlarının toplamı 195'tir.
Örnek 5:
💡 Bir \( A \) doğal sayısı asal çarpanlarına ayrılmış şekilde \( A = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 \) olarak verilmiştir. Buna göre, \( A \) sayısının 60'tan büyük kaç tane pozitif tam sayı böleni vardır?
Çözüm:
Öncelikle \( A \) sayısının değerini ve tüm pozitif bölenlerini bulalım.
- 👉 \( A \) sayısının değerini hesaplayalım:
- \[A = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 = 8 \times 9 \times 5 = 72 \times 5 = 360\]
- 👉 Şimdi 360 sayısının tüm pozitif tam sayı bölenlerini bulalım. Bunun için üsleri birer artırıp çarparız:
- Pozitif Bölen Sayısı \( = (3+1) \times (2+1) \times (1+1) \)
- \( = 4 \times 3 \times 2 = 24 \)
- 👉 Bu 24 böleni tek tek listelemek yerine, 60'tan küçük veya 60'a eşit olan bölenleri bulup tüm bölen sayısından çıkarabiliriz.
- 360'ın bölenleri şunlardır: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360.
- 👉 60'tan küçük veya 60'a eşit olan bölenler şunlardır:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60. - Bu bölenlerin sayısı 19 tanedir.
- ✅ 60'tan büyük bölenlerin sayısı \( = \text{Toplam bölen sayısı} - \text{60 ve altındaki bölen sayısı} \)
- \( = 24 - 19 = 5 \) tanedir.
(Bu bölenler: 72, 90, 120, 180, 360)
Örnek 6:
📦 Bir depoda bulunan 180 adet eşya, raflara her rafta eşit sayıda eşya olacak şekilde dizilecektir. Raflara dizilecek eşya sayısı 10'dan fazla ve 30'dan az olmalıdır. Bu koşullara göre, raflara kaç farklı şekilde eşya dizilebileceğini bulunuz.
Çözüm:
Bu problemde, 180 adet eşyanın raflara eşit sayıda dizilmesi demek, raf sayısının ve her raftaki eşya sayısının 180'in birer çarpanı olması demektir.
- 👉 Öncelikle 180 sayısının tüm pozitif tam sayı çarpanlarını (bölenlerini) bulalım:
- \(1 \times 180\)
- \(2 \times 90\)
- \(3 \times 60\)
- \(4 \times 45\)
- \(5 \times 36\)
- \(6 \times 30\)
- \(9 \times 20\)
- \(10 \times 18\)
- \(12 \times 15\)
- 180'in çarpanları: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180.
- 👉 Soruda verilen koşul, her raftaki eşya sayısının 10'dan fazla ve 30'dan az olmasıdır.
- Bu çarpanlar arasından 10'dan büyük ve 30'dan küçük olanları seçelim:
- 12, 15, 18, 20.
- ✅ Bu durumda, raflara 4 farklı şekilde eşya dizilebilir. (Her rafta 12, 15, 18 veya 20 eşya olacak şekilde.)
Örnek 7:
🥳 Melis, doğum günü partisi için 48 adet kurabiye yapmıştır. Bu kurabiyeleri misafirlerine eşit sayıda paylaştırmak istiyor. Misafir sayısı 2'den fazla ve 10'dan az olduğuna göre, Melis kurabiyeleri misafirlerine kaç farklı şekilde paylaştırabilir?
Çözüm:
Melis'in kurabiyeleri misafirlerine eşit sayıda paylaştırması, misafir sayısının 48'in bir çarpanı olması gerektiği anlamına gelir.
- 👉 Öncelikle 48 sayısının tüm pozitif tam sayı çarpanlarını (bölenlerini) bulalım:
- \(1 \times 48\)
- \(2 \times 24\)
- \(3 \times 16\)
- \(4 \times 12\)
- \(6 \times 8\)
- 48'in çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
- 👉 Misafir sayısı için verilen koşul, misafir sayısının 2'den fazla ve 10'dan az olmasıdır.
- Bu çarpanlar arasından 2'den büyük ve 10'dan küçük olanları seçelim:
- 3, 4, 6, 8.
- ✅ Melis, kurabiyeleri misafirlerine 4 farklı şekilde paylaştırabilir. (Misafir sayısı 3, 4, 6 veya 8 olabilir.)
Örnek 8:
🧐 Pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı 12 olan en küçük doğal sayı kaçtır?
Çözüm:
Bir sayının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını bulmak için, sayıyı asal çarpanlarına ayırır ve üslerini birer artırıp çarparız. Bu soruda tersten gideceğiz.
- 👉 Pozitif bölen sayısı 12'dir. 12 sayısını farklı şekillerde çarpanlarına ayırabiliriz:
- Durum 1: Bir asal sayının üssü olarak. Üssü \(n-1\) olan bir asal sayının \(n\) tane böleni vardır.
- \(12 = 11 + 1 \implies p^{11}\) şeklinde bir sayı. En küçük asal sayı 2 olduğu için \(2^{11} = 2048\).
- Durum 2: İki asal sayının çarpımı şeklinde. Üsleri \(a-1\) ve \(b-1\) olan iki asal sayının \(a \times b\) tane böleni vardır.
- \(12 = 6 \times 2 \implies p^5 \times q^1\). En küçük asal sayılar 2 ve 3 olduğu için:
- \(2^5 \times 3^1 = 32 \times 3 = 96\)
- \(3^5 \times 2^1 = 243 \times 2 = 486\) (Daha büyük)
- \(12 = 4 \times 3 \implies p^3 \times q^2\). En küçük asal sayılar 2 ve 3 olduğu için:
- \(2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72\)
- \(3^3 \times 2^2 = 27 \times 4 = 108\) (Daha büyük)
- Durum 3: Üç asal sayının çarpımı şeklinde. Üsleri \(a-1\), \(b-1\), \(c-1\) olan üç asal sayının \(a \times b \times c\) tane böleni vardır.
- \(12 = 3 \times 2 \times 2 \implies p^2 \times q^1 \times r^1\). En küçük asal sayılar 2, 3, 5 olduğu için:
- \(2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 4 \times 3 \times 5 = 60\)
- ✅ Yukarıdaki durumları karşılaştırdığımızda, en küçük sayının 60 olduğunu görürüz.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-bir-dogal-sayi-ile-carpanlari-ve-bolenleri-arasindaki-iliskiler/sorular