📄 10. Sınıf Matematik: Bir Doğal Sayı İle Çarpanları Ve Bölenleri Arasındaki İlişkiler Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Öncelikle 120 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
\(120 = 12 \cdot 10 = (2^2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1\).

Pozitif Tam Sayı Bölenlerinin Sayısı (PBS):
Asal çarpanların üslerini birer artırıp çarparız.
PBS \(= (3+1) \cdot (1+1) \cdot (1+1) = 4 \cdot 2 \cdot 2 = 16\).
Yani 120 sayısının 16 tane pozitif tam sayı böleni vardır.

Pozitif Tam Sayı Bölenlerinin Toplamı (PBT):
Formül: \(\left(\frac{p_1^{a_1+1}-1}{p_1-1}\right) \cdot \left(\frac{p_2^{a_2+1}-1}{p_2-1}\right) \cdot \ldots \cdot \left(\frac{p_k^{a_k+1}-1}{p_k-1}\right)\)
Burada \(p_1=2, a_1=3\); \(p_2=3, a_2=1\); \(p_3=5, a_3=1\).
PBT \(= \left(\frac{2^{3+1}-1}{2-1}\right) \cdot \left(\frac{3^{1+1}-1}{3-1}\right) \cdot \left(\frac{5^{1+1}-1}{5-1}\right)\)
PBT \(= \left(\frac{2^4-1}{1}\right) \cdot \left(\frac{3^2-1}{2}\right) \cdot \left(\frac{5^2-1}{4}\right)\)
PBT \(= (16-1) \cdot \left(\frac{9-1}{2}\right) \cdot \left(\frac{25-1}{4}\right)\)
PBT \(= 15 \cdot \left(\frac{8}{2}\right) \cdot \left(\frac{24}{4}\right)\)
PBT \(= 15 \cdot 4 \cdot 6\)
PBT \(= 60 \cdot 6 = 360\).
Yani 120 sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin toplamı 360'tır.

💡 Çözüm Adımları:

Eş kare parsellere ayırma işlemi, hem 72 cm'lik hem de 96 cm'lik kenarı tam bölen bir uzunluk bulmayı gerektirir. En büyük kare parselleri elde etmek için, bu iki sayının en büyük ortak bölenini (EBOB) bulmalıyız.

Öncelikle 72 ve 96 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım:
\(72 = 2^3 \cdot 3^2\)
\(96 = 2^5 \cdot 3^1\)

EBOB(72, 96) bulmak için, ortak asal çarpanların en küçük üslerini alırız:
EBOB(72, 96) \(= 2^3 \cdot 3^1 = 8 \cdot 3 = 24\).
Buna göre, bir parselin kenar uzunluğu en fazla 24 cm olabilir.

Elde edilecek parsel sayısını bulmak için, bahçenin toplam alanını bir parselin alanına böleriz:
Bahçenin alanı \(= 72 \cdot 96\) \(\text{cm}^2\).
Bir parselin alanı \(= 24 \cdot 24\) \(\text{cm}^2\).

Parsel sayısı \(= \frac{72 \cdot 96}{24 \cdot 24}\)
Parsel sayısı \(= \frac{72}{24} \cdot \frac{96}{24}\)
Parsel sayısı \(= 3 \cdot 4 = 12\).
Bu şekilde 12 adet eş kare parsel elde edilir.

💡 Çözüm Adımları:

İki doğal sayı için bilinen bir kural vardır: İki sayının çarpımı, bu sayıların EBOB'u ile EKOK'unun çarpımına eşittir.
Yani, \(A \cdot B = \text{EBOB}(A, B) \cdot \text{EKOK}(A, B)\).

Verilenler:
EBOB \(= 12\)
EKOK \(= 144\)
Bir sayı \((A) = 36\)
Diğer sayı \((B) = ?\)

Formülü kullanarak yerine koyalım:
\(36 \cdot B = 12 \cdot 144\)

Şimdi B'yi bulmak için denklemi çözelim:
\(B = \frac{12 \cdot 144}{36}\)

Sadeleştirme yaparsak:
\(B = \frac{12}{36} \cdot 144\)
\(B = \frac{1}{3} \cdot 144\)
\(B = \frac{144}{3}\)
\(B = 48\).

Buna göre, diğer sayı 48'dir.