Bir Doğal Sayı İle Çarpanları Ve Bölenleri Arasındaki İlişkiler Ders Notu

Bir doğal sayının çarpanları ve bölenleri, sayılar teorisinin temel taşlarından biridir. Bu kavramlar, bir sayının yapısını anlamamıza ve sayılar arasındaki ilişkileri kurmamıza yardımcı olur. Özellikle 10. sınıf matematik müfredatında, bu ilişkiler detaylı bir şekilde incelenir ve ileri seviye konular için sağlam bir zemin oluşturur.

Genel Tanımlar 💡

Çarpan (Bölen) Nedir?

Bir doğal sayıyı tam bölen her doğal sayıya o sayının çarpanı veya böleni denir. Bir sayının çarpanlarını bulmak için, o sayıyı kalansız bölen tüm doğal sayıları listelemek gerekir.

Örneğin, 12 sayısının çarpanlarını bulalım:

• 12'yi 1 böler: \(12 \div 1 = 12\)
• 12'yi 2 böler: \(12 \div 2 = 6\)
• 12'yi 3 böler: \(12 \div 3 = 4\)
• 12'yi 4 böler: \(12 \div 4 = 3\)
• 12'yi 6 böler: \(12 \div 6 = 2\)
• 12'yi 12 böler: \(12 \div 12 = 1\)

Bu durumda, 12 sayısının çarpanları (bölenleri) 1, 2, 3, 4, 6, 12'dir.

Asal Sayı Nedir?

Asal sayı, 1'den büyük, 1 ve kendisinden başka hiçbir pozitif tam sayıya bölünemeyen doğal sayılara denir.

• En küçük asal sayı 2'dir ve çift olan tek asal sayı 2'dir.
• 1 asal sayı değildir.

Örnek asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...

Asal Çarpan Nedir?

Bir doğal sayının çarpanları arasında asal olan sayılara asal çarpanlar denir.

Örneğin, 12 sayısının çarpanları 1, 2, 3, 4, 6, 12 idi. Bu çarpanlar arasından asal olanlar 2 ve 3'tür. Dolayısıyla, 12'nin asal çarpanları 2 ve 3'tür.

Bir Sayıyı Asal Çarpanlarına Ayırma Yöntemleri 🔢

Her doğal sayı, asal çarpanlarının çarpımı şeklinde tek bir biçimde yazılabilir. Bu işleme asal çarpanlara ayırma denir. İki temel yöntem kullanılır:

Çarpan Ağacı Yöntemi

Bu yöntemde, sayı iki çarpanına ayrılır ve bu işlem, tüm çarpanlar asal olana kadar devam ettirilir. Ağacın en altındaki asal sayılar, sayının asal çarpanlarını verir.

Örnek: 60 sayısını çarpan ağacı yöntemiyle asal çarpanlarına ayıralım.

60

/ \

2 30

/ \

2 15

/ \

3 5

Buna göre, 60 sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. 60 sayısı \(2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1\) şeklinde yazılır.

Bölen Listesi (Asal Çarpanlar) Yöntemi

Bu yöntemde, sayı en küçük asal sayıdan başlanarak sırasıyla asal sayılara bölünür. Bölüm 1 olana kadar işleme devam edilir. Sağdaki asal sayılar, o sayının asal çarpanlarını oluşturur.

Örnek: 60 sayısını bölen listesi yöntemiyle asal çarpanlarına ayıralım.

60 | 2
30 | 2
15 | 3
 5 | 5
 1 |

Sağ taraftaki sayılar olan 2, 2, 3, 5, 60 sayısının asal çarpanlarıdır. Yine \(60 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1\) şeklinde ifade edilir.

Bir Doğal Sayının Çarpanları ve Bölenleri ile İlgili Özellikler ✨

Bir doğal sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali \(a^x \cdot b^y \cdot c^z\) şeklinde ise (burada a, b, c asal sayılar; x, y, z pozitif tam sayılardır), aşağıdaki özellikler geçerlidir:

Pozitif Tam Sayı Bölenlerinin Sayısı (PTSBS)

Bir sayının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını bulmak için, asal çarpanlara ayırdıktan sonra her bir asal çarpanın kuvvetine 1 eklenir ve elde edilen sayılar çarpılır.

\[ \text{PTSBS} = (x+1) \cdot (y+1) \cdot (z+1) \]

Örnek: 60 sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını bulalım.

\(60 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1\)

Kuvvetler 2, 1 ve 1'dir.

\(\text{PTSBS} = (2+1) \cdot (1+1) \cdot (1+1) = 3 \cdot 2 \cdot 2 = 12\)

Yani 60 sayısının 12 tane pozitif tam sayı böleni vardır.

Pozitif Tam Sayı Bölenlerinin Toplamı (PTSBT)

Bir sayının pozitif tam sayı bölenlerinin toplamını bulmak için, her bir asal çarpanın kuvvetini sıfırdan başlayarak artırarak toplamını alırız ve bu toplamları çarparız.

\[ \text{PTSBT} = (a^0 + a^1 + \dots + a^x) \cdot (b^0 + b^1 + \dots + b^y) \cdot (c^0 + c^1 + \dots + c^z) \]

Örnek: 60 sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin toplamını bulalım.

\(60 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1\)

\(\text{PTSBT} = (2^0 + 2^1 + 2^2) \cdot (3^0 + 3^1) \cdot (5^0 + 5^1)\)

\(\text{PTSBT} = (1 + 2 + 4) \cdot (1 + 3) \cdot (1 + 5)\)

\(\text{PTSBT} = 7 \cdot 4 \cdot 6 = 168\)

Yani 60 sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin toplamı 168'dir.

Tam Sayı Bölenlerinin Sayısı (TSBS)

Bir doğal sayının tam sayı bölenleri, pozitif bölenleri ve bunların negatif işaretlilerinden oluşur. Dolayısıyla, tam sayı bölenlerinin sayısı, pozitif tam sayı bölenlerinin sayısının 2 katıdır.

\[ \text{TSBS} = 2 \cdot \text{PTSBS} \]

Örnek: 60 sayısının tam sayı bölenlerinin sayısını bulalım.

Önceki örnekten 60 sayısının PTSBS'si 12 idi.

\(\text{TSBS} = 2 \cdot 12 = 24\)

Yani 60 sayısının 24 tane tam sayı böleni vardır (12 pozitif, 12 negatif).

Asal Olmayan Pozitif Tam Sayı Bölenlerinin Sayısı

Bir sayının asal olmayan pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını bulmak için, pozitif tam sayı bölenlerinin sayısından sayının asal çarpanlarının sayısı çıkarılır.

\[ \text{Asal Olmayan PTSBS} = \text{PTSBS} - (\text{Asal Çarpan Sayısı}) \]

Örnek: 60 sayısının asal olmayan pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını bulalım.

60 sayısının PTSBS'si 12 idi.

60 sayısının asal çarpanları 2, 3, 5 olmak üzere 3 tanedir.

\(\text{Asal Olmayan PTSBS} = 12 - 3 = 9\)

Yani 60 sayısının 9 tane asal olmayan pozitif tam sayı böleni vardır.