🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Bir Doğal Sayı İle Asal Çarpanlarına Ve Bölenleri Arasındaki İlişkiler Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Bir Doğal Sayı İle Asal Çarpanlarına Ve Bölenleri Arasındaki İlişkiler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
💡 60 sayısını asal çarpanlarına ayırarak üslü ifade şeklinde yazınız.
Çözüm:
- Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak için, sayıyı en küçük asal sayıdan başlayarak bölmeye başlarız.
- 60'ı 2'ye böleriz: \( 60 \div 2 = 30 \)
- 30'u tekrar 2'ye böleriz: \( 30 \div 2 = 15 \)
- 15'i 2'ye bölemeyiz, sonraki asal sayı olan 3'e böleriz: \( 15 \div 3 = 5 \)
- 5'i 3'e bölemeyiz, sonraki asal sayı olan 5'e böleriz: \( 5 \div 5 = 1 \)
- Bölme işlemi 1'e ulaştığında tamamlanır.
- Bu durumda 60 sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir.
- Üslü ifade şeklinde yazarsak: \( 60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \) olur.
- ✅ Görüldüğü gibi 60, üç farklı asal sayının çarpımı şeklinde ifade edilebilir.
Örnek 2:
📌 72 sayısının pozitif tam bölenlerini bulunuz.
Çözüm:
- Öncelikle 72 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
- \( 72 = 2 \times 36 = 2 \times 2 \times 18 = 2 \times 2 \times 2 \times 9 = 2^3 \times 3^2 \)
- Pozitif tam bölenlerini bulmak için 2'nin kuvvetleri ile 3'ün kuvvetlerini çarparız.
- 2'nin kuvvetleri: \( 2^0=1, 2^1=2, 2^2=4, 2^3=8 \)
- 3'ün kuvvetleri: \( 3^0=1, 3^1=3, 3^2=9 \)
- Şimdi bu kuvvetleri birbiriyle çarparak tüm bölenleri listeleyelim:
- \( 1 \times 1 = 1 \)
- \( 1 \times 3 = 3 \)
- \( 1 \times 9 = 9 \)
- \( 2 \times 1 = 2 \)
- \( 2 \times 3 = 6 \)
- \( 2 \times 9 = 18 \)
- \( 4 \times 1 = 4 \)
- \( 4 \times 3 = 12 \)
- \( 4 \times 9 = 36 \)
- \( 8 \times 1 = 8 \)
- \( 8 \times 3 = 24 \)
- \( 8 \times 9 = 72 \)
- Buna göre, 72 sayısının pozitif tam bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72'dir.
- ✅ Toplamda 12 adet pozitif tam böleni vardır.
Örnek 3:
👉 120 sayısının kaç tane tam sayı böleni olduğunu bulunuz.
Çözüm:
- Bir doğal sayının tam sayı bölenleri, pozitif bölenlerinin ve negatif bölenlerinin toplamıdır. Her pozitif bölen için bir de negatif bölen bulunur.
- Önce 120 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
- \( 120 = 12 \times 10 = (2^2 \times 3^1) \times (2^1 \times 5^1) = 2^{2+1} \times 3^1 \times 5^1 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1 \)
- Pozitif tam bölen sayısını bulmak için asal çarpanların üslerini bir artırıp çarparız:
- 2'nin üssü: 3
- 3'ün üssü: 1
- 5'in üssü: 1
- Pozitif Bölen Sayısı \( = (3+1) \times (1+1) \times (1+1) \)
- Pozitif Bölen Sayısı \( = 4 \times 2 \times 2 = 16 \)
- Toplam tam sayı bölen sayısı, pozitif bölen sayısının iki katıdır.
- Tam Sayı Bölen Sayısı \( = 2 \times (\text{Pozitif Bölen Sayısı}) \)
- Tam Sayı Bölen Sayısı \( = 2 \times 16 = 32 \)
- ✅ 120 sayısının 32 tane tam sayı böleni vardır.
Örnek 4:
Bir \( A \) doğal sayısı \( A = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 \) şeklinde asal çarpanlarına ayrılmıştır. Bu sayının pozitif tam bölenlerinin sayısını bulunuz.
Çözüm:
- Verilen sayı zaten asal çarpanlarına ayrılmış haldedir: \( A = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 \)
- Pozitif tam bölen sayısını bulmak için her bir asal çarpanın üssünü 1 artırıp bu değerleri çarparız.
- 2'nin üssü: 3. Bir artırırsak \( (3+1) = 4 \) olur.
- 3'ün üssü: 2. Bir artırırsak \( (2+1) = 3 \) olur.
- 5'in üssü: 1. Bir artırırsak \( (1+1) = 2 \) olur.
- Pozitif Bölen Sayısı \( = (3+1) \times (2+1) \times (1+1) \)
- Pozitif Bölen Sayısı \( = 4 \times 3 \times 2 \)
- Pozitif Bölen Sayısı \( = 24 \)
- ✅ Yani, \( A \) sayısının 24 tane pozitif tam böleni vardır.
Örnek 5:
Bir \( N \) doğal sayısı \( N = 2^a \times 3^2 \) şeklinde asal çarpanlarına ayrılmıştır. Bu sayının 12 tane pozitif tam böleni olduğuna göre, a doğal sayısı kaçtır?
Çözüm:
- Bir sayının pozitif tam bölen sayısı, asal çarpanlarının üslerinin birer fazlasının çarpımıyla bulunur.
- Verilen sayı: \( N = 2^a \times 3^2 \)
- 2'nin üssü: \( a \). Bunu bir artırırsak \( (a+1) \) olur.
- 3'ün üssü: \( 2 \). Bunu bir artırırsak \( (2+1) = 3 \) olur.
- Pozitif Bölen Sayısı \( = (a+1) \times (2+1) \)
- Bize pozitif bölen sayısının 12 olduğu verilmiş. O halde denklemi kurabiliriz:
- \( (a+1) \times 3 = 12 \)
- Eşitliğin her iki tarafını 3'e bölelim:
- \( a+1 = \frac{12}{3} \)
- \( a+1 = 4 \)
- Şimdi 1'i eşitliğin diğer tarafına atalım:
- \( a = 4 - 1 \)
- \( a = 3 \)
- ✅ Buna göre, a doğal sayısı 3'tür.
Örnek 6:
Pozitif tam bölen sayısı 8 olan en küçük doğal sayı kaçtır?
Çözüm:
- Bir sayının pozitif bölen sayısı 8 ise, bu sayının asal çarpanlarının üsleri \( (p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \dots) \) için \( (a_1+1) \times (a_2+1) \times \dots = 8 \) olmalıdır.
- 8 sayısının çarpanlarına ayrılışını düşünelim:
- Durum 1: Sadece bir asal çarpan varsa.
- Üs \( (a_1+1) = 8 \) ise \( a_1 = 7 \) olur. En küçük asal sayı 2 olduğu için, sayı \( 2^7 = 128 \) olur.
- Durum 2: İki asal çarpan varsa.
- Üsler \( (a_1+1) \times (a_2+1) = 8 \) ise, \( (a_1+1) \) ve \( (a_2+1) \) değerleri 2 ve 4 olabilir.
- Yani \( a_1+1=4 \implies a_1=3 \) ve \( a_2+1=2 \implies a_2=1 \).
- Sayı \( p^3 \times q^1 \) şeklinde olur. En küçük sayıyı elde etmek için büyük üssü küçük asal sayıya, küçük üssü büyük asal sayıya veririz.
- Yani \( 2^3 \times 3^1 = 8 \times 3 = 24 \) veya \( 3^3 \times 2^1 = 27 \times 2 = 54 \). Bu durumda en küçük sayı 24'tür.
- Durum 3: Üç asal çarpan varsa.
- Üsler \( (a_1+1) \times (a_2+1) \times (a_3+1) = 8 \) ise, \( (a_1+1), (a_2+1), (a_3+1) \) değerleri 2, 2 ve 2 olabilir.
- Yani \( a_1=1, a_2=1, a_3=1 \) olur.
- Sayı \( p^1 \times q^1 \times r^1 \) şeklinde olur. En küçük asal sayıları kullanarak: \( 2^1 \times 3^1 \times 5^1 = 2 \times 3 \times 5 = 30 \).
- Şimdi bulduğumuz sayıları karşılaştıralım: 128, 24, 30.
- Bunlar arasında en küçük olanı 24'tür.
- ✅ Pozitif tam bölen sayısı 8 olan en küçük doğal sayı 24'tür.
Örnek 7:
📦 Bir market, elinde bulunan 90 adet çikolatayı, her pakette eşit sayıda çikolata olacak şekilde paketlemek istiyor. Market kaç farklı şekilde paketleme yapabilir? (Her pakette en az 1 çikolata olmalıdır.)
Çözüm:
- Bu problemde marketin kaç farklı şekilde paketleme yapabileceği, 90 sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısına eşittir. Çünkü her bölen, eşit sayıda çikolata içeren bir paketleme şeklini temsil eder (örneğin, 10 böleni demek, her pakette 10 çikolata olacak şekilde paketleme yapmak demektir).
- Öncelikle 90 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
- \( 90 = 9 \times 10 = (3^2) \times (2^1 \times 5^1) = 2^1 \times 3^2 \times 5^1 \)
- Şimdi pozitif tam bölen sayısını bulalım:
- 2'nin üssü: 1. Bir artırırsak \( (1+1) = 2 \) olur.
- 3'ün üssü: 2. Bir artırırsak \( (2+1) = 3 \) olur.
- 5'in üssü: 1. Bir artırırsak \( (1+1) = 2 \) olur.
- Pozitif Bölen Sayısı \( = (1+1) \times (2+1) \times (1+1) \)
- Pozitif Bölen Sayısı \( = 2 \times 3 \times 2 \)
- Pozitif Bölen Sayısı \( = 12 \)
- Bu durumda market, 12 farklı şekilde paketleme yapabilir. Örneğin, her pakette 1 çikolata (90 paket), her pakette 2 çikolata (45 paket), ..., her pakette 90 çikolata (1 paket) gibi.
- ✅ Market, çikolataları 12 farklı şekilde paketleyebilir.
Örnek 8:
🔢 180 sayısının pozitif tam bölenlerinden kaç tanesi 6'nın katıdır?
Çözüm:
- Öncelikle 180 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
- \( 180 = 18 \times 10 = (2 \times 3^2) \times (2 \times 5) = 2^2 \times 3^2 \times 5^1 \)
- Bir sayının 6'nın katı olması demek, o sayının asal çarpanları arasında en az bir tane 2 ve en az bir tane 3 çarpanı bulunması demektir.
- Bu tür bölenleri bulmak için, sayıyı 6'ya bölerek elde ettiğimiz yeni sayının bölenlerini bulma yöntemini kullanabiliriz.
- \( \frac{180}{6} = 30 \)
- Şimdi 30 sayısının pozitif tam bölenlerini bulalım. Bu bölenleri 6 ile çarptığımızda, 180'in 6'nın katı olan bölenlerini elde etmiş oluruz.
- 30'u asal çarpanlarına ayıralım: \( 30 = 2^1 \times 3^1 \times 5^1 \)
- 30'un pozitif bölen sayısı \( = (1+1) \times (1+1) \times (1+1) = 2 \times 2 \times 2 = 8 \)
- Bu 8 bölen (1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30) 6 ile çarpıldığında 180'in 6'nın katı olan bölenlerini verecektir.
- (Yani 180'in 6'nın katı olan bölenleri: \( 6 \times 1 = 6 \), \( 6 \times 2 = 12 \), \( 6 \times 3 = 18 \), \( 6 \times 5 = 30 \), \( 6 \times 6 = 36 \), \( 6 \times 10 = 60 \), \( 6 \times 15 = 90 \), \( 6 \times 30 = 180 \))
- ✅ 180 sayısının pozitif tam bölenlerinden 8 tanesi 6'nın katıdır.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-bir-dogal-sayi-ile-asal-carpanlarina-ve-bolenleri-arasindaki-iliskiler/sorular