Bir Doğal Sayı İle Asal Çarpanlarına Ve Bölenleri Arasındaki İlişkiler Ders Notu

Bir doğal sayının asal çarpanlarına ayrılması ve bu çarpanlar yardımıyla sayının tüm bölenlerinin bulunması, sayılar teorisinin temel konularından biridir. Bu konu, 10. sınıf matematik müfredatında yer almakta olup, sayıların yapısını anlamak için önemli bir adımdır.

Asal Sayı ve Asal Çarpan Nedir? 🤔

• Asal Sayı: 1'den büyük, 1 ve kendisinden başka hiçbir pozitif tam sayıya bölünemeyen doğal sayılara asal sayı denir. En küçük asal sayı 2'dir ve çift olan tek asal sayı 2'dir.
• Asal Çarpan (Asal Bölen): Bir doğal sayının çarpanları (bölenleri) arasında asal olan sayılara asal çarpan denir. Örneğin, 12 sayısının çarpanları (1, 2, 3, 4, 6, 12) arasından asal olanlar 2 ve 3'tür. Bu durumda 2 ve 3, 12 sayısının asal çarpanlarıdır.

Bir Doğal Sayıyı Asal Çarpanlarına Ayırma Yöntemleri 📝

Bir doğal sayıyı asal çarpanlarına ayırmanın iki temel yöntemi vardır:

1. Çarpan Ağacı Yöntemi 🌳

Bu yöntemde sayı, iki çarpanına ayrılır ve bu işlem, çarpanlar asal olana kadar devam eder. Asal çarpanlar, ağacın en alt dallarındaki asal sayılardır.

Örnek: 60 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.
60
/ \
2 30
/ \
2 15
/ \
3 5
Buna göre 60 sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. 60 = \( 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \) şeklinde yazılır.

2. Bölme Algoritması (Asal Çarpanlara Ayırma Çizgisi) Yöntemi ➗

Bu yöntemde sayı, en küçük asal sayıdan başlanarak sırasıyla asal sayılara bölünür. Bölme işlemi, bölüm 1 olana kadar devam eder. Sağ tarafta elde edilen asal sayılar, sayının asal çarpanlarıdır.

Örnek: 72 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.
72 | 2
36 | 2
18 | 2
9 | 3
3 | 3
1 |
Buna göre 72 sayısının asal çarpanları 2 ve 3'tür. 72 = \( 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^2 \) şeklinde yazılır.

Asal Çarpanlar Yardımıyla Bir Doğal Sayının Bölenlerini Bulma 🔍

Bir doğal sayı \( N \)'nin asal çarpanlarına ayrılmış hali \( N = a^x \cdot b^y \cdot c^z \) olsun (burada \( a, b, c \) farklı asal sayılar ve \( x, y, z \) pozitif tam sayılardır).

1. Pozitif Tam Bölen Sayısı (PTBS) ➕

Bir doğal sayının asal çarpanlarının üsleri birer artırılıp çarpılarak pozitif tam bölen sayısı bulunur.

\[ \text{PTBS} = (x+1)(y+1)(z+1) \]

Örnek: 60 sayısının pozitif tam bölen sayısını bulalım.
60 = \( 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \)
PTBS = \( (2+1)(1+1)(1+1) = 3 \cdot 2 \cdot 2 = 12 \)
60 sayısının 12 adet pozitif tam böleni vardır (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60).

2. Tam Bölen Sayısı (TBS) 🔢

Bir doğal sayının tam bölen sayısı, pozitif tam bölen sayısının 2 katıdır (çünkü her pozitif bölenin bir de negatif karşılığı vardır).

\[ \text{TBS} = 2 \cdot \text{PTBS} \]

Örnek: 60 sayısının tam bölen sayısını bulalım.
PTBS = 12 olduğundan,
TBS = \( 2 \cdot 12 = 24 \)
60 sayısının 24 adet tam böleni vardır.

3. Pozitif Tek Sayı Bölenleri ve Pozitif Çift Sayı Bölenleri 짝 홀

• Pozitif Tek Sayı Bölenleri: Sayının asal çarpanları arasında 2 çarpanı varsa, bunu dikkate almadan diğer asal çarpanların üsleri birer artırılıp çarpılır. Eğer 2 çarpanı yoksa, tüm asal çarpanların üsleri kullanılarak PTBS bulunur.
• Pozitif Çift Sayı Bölenleri: Toplam pozitif bölen sayısından pozitif tek sayı bölen sayısı çıkarılarak bulunur.

Örnek: 72 sayısının pozitif tek ve çift sayı bölenlerini bulalım.
72 = \( 2^3 \cdot 3^2 \)
PTBS = \( (3+1)(2+1) = 4 \cdot 3 = 12 \)

• Pozitif Tek Sayı Bölenleri: 2 çarpanını dikkate almayız. Sadece \( 3^2 \) kalır. Üs \( (2+1) = 3 \). (1, 3, 9)
• Pozitif Çift Sayı Bölenleri: PTBS - Pozitif Tek Sayı Bölenleri = \( 12 - 3 = 9 \).

4. Belirli Bir Katı Olan Bölenler (Örn: 3'ün Katı Olan Pozitif Bölenler) ✖️

Bir \( N \) sayısının \( k \)'nin katı olan pozitif bölenlerini bulmak için \( N \) sayısı \( k \)'ye bölünür ve elde edilen sayının pozitif bölen sayısı hesaplanır. Bu, \( N \)'nin \( k \)'nin katı olan pozitif bölenlerinin sayısını verir.

\[ \frac{N}{k} = M \]

\( M \)'nin pozitif bölen sayısı, \( N \)'nin \( k \)'nin katı olan pozitif bölenlerinin sayısıdır.

Örnek: 60 sayısının 3'ün katı olan pozitif bölenlerini bulalım.
60 = \( 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \)
60'ı 3'e bölelim: \( 60 \div 3 = 20 \).
Şimdi 20'nin pozitif bölen sayısını bulalım.
20 = \( 2^2 \cdot 5^1 \)
PTBS(\(20\)) = \( (2+1)(1+1) = 3 \cdot 2 = 6 \).
Demek ki 60 sayısının 3'ün katı olan 6 adet pozitif böleni vardır (3, 6, 12, 15, 30, 60).

5. Pozitif Tam Bölenlerin Toplamı ➕

Bir doğal sayı \( N = a^x \cdot b^y \cdot c^z \) şeklinde asal çarpanlarına ayrıldığında, pozitif tam bölenlerinin toplamı aşağıdaki formülle bulunur:

\[ \text{PBT} = (1+a+a^2+...+a^x)(1+b+b^2+...+b^y)(1+c+c^2+...+c^z) \]

Örnek: 12 sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamını bulalım.
12 = \( 2^2 \cdot 3^1 \)
PBT = \( (1+2+2^2)(1+3^1) \)
PBT = \( (1+2+4)(1+3) \)
PBT = \( (7)(4) = 28 \)
12'nin pozitif bölenleri (1, 2, 3, 4, 6, 12) toplamı: \( 1+2+3+4+6+12 = 28 \).

6. Pozitif Tam Bölenlerin Çarpımı ✖️

Bir doğal sayı \( N \)'nin pozitif tam bölenlerinin çarpımı, sayının kendisinin pozitif tam bölen sayısı kadar üssünün karekökü veya sayının üssü olarak aşağıdaki formülle bulunur:

\[ \text{PBC} = N^{\frac{\text{PTBS}}{2}} \]

Örnek: 12 sayısının pozitif tam bölenlerinin çarpımını bulalım.
12 = \( 2^2 \cdot 3^1 \)
PTBS(\(12\)) = \( (2+1)(1+1) = 3 \cdot 2 = 6 \)
PBC = \( 12^{\frac{6}{2}} = 12^3 \)
PBC = \( 12 \cdot 12 \cdot 12 = 1728 \)
12'nin pozitif bölenleri (1, 2, 3, 4, 6, 12) çarpımı: \( 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 12 = 1728 \).