🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Bir Doğal Sayı İle Asal Çarpanları Ve Bölenleri Arasındaki İlişkiler Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Bir Doğal Sayı İle Asal Çarpanları Ve Bölenleri Arasındaki İlişkiler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
💡 72 sayısının asal çarpanlarını bulunuz ve bu sayının kaç tane pozitif böleni olduğunu hesaplayınız.
Çözüm:
- Öncelikle 72 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
- \( 72 \div 2 = 36 \)
- \( 36 \div 2 = 18 \)
- \( 18 \div 2 = 9 \)
- \( 9 \div 3 = 3 \)
- \( 3 \div 3 = 1 \)
- Buna göre, \( 72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^2 \) şeklinde yazılır.
- 72 sayısının asal çarpanları 2 ve 3'tür. ✅
- Pozitif bölen sayısını bulmak için, asal çarpanların üslerini birer artırıp çarparız:
- \( 2^3 \) ifadesindeki üs 3'tür.
- \( 3^2 \) ifadesindeki üs 2'dir.
- Pozitif Bölen Sayısı \( = (3+1) \cdot (2+1) \)
- Pozitif Bölen Sayısı \( = 4 \cdot 3 \)
- Pozitif Bölen Sayısı \( = 12 \)
- Yani, 72 sayısının 12 tane pozitif böleni vardır. 🎉
Örnek 2:
📌 120 sayısının tam bölenlerinin sayısını ve asal olmayan pozitif bölenlerinin sayısını bulunuz.
Çözüm:
- Öncelikle 120 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
- \( 120 = 12 \cdot 10 = (2^2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \)
- Pozitif Bölen Sayısı (PBS):
- Üsleri birer artırıp çarpalım: \( PBS = (3+1) \cdot (1+1) \cdot (1+1) \)
- \( PBS = 4 \cdot 2 \cdot 2 = 16 \)
- 120 sayısının 16 tane pozitif böleni vardır.
- Tam Bölen Sayısı (TBS):
- Bir sayının tam bölen sayısı, pozitif bölen sayısının 2 katıdır.
- \( TBS = 2 \cdot PBS \)
- \( TBS = 2 \cdot 16 = 32 \)
- Yani, 120 sayısının 32 tane tam böleni vardır. ✅
- Asal Olmayan Pozitif Bölen Sayısı:
- 120 sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. Yani 3 tane asal böleni vardır.
- Asal Olmayan Pozitif Bölen Sayısı \( = PBS - (\text{asal çarpan sayısı}) \)
- Asal Olmayan Pozitif Bölen Sayısı \( = 16 - 3 = 13 \)
- Yani, 120 sayısının 13 tane asal olmayan pozitif böleni vardır. 🎉
Örnek 3:
👉 60 sayısının pozitif bölenlerinin toplamını hesaplayınız.
Çözüm:
- Öncelikle 60 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
- \( 60 = 6 \cdot 10 = (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \)
- Pozitif bölenlerin toplamını bulmak için, her bir asal çarpanın kuvvetlerini sıfırdan başlayarak üssüne kadar toplarız ve bu toplamları birbiriyle çarparız.
- 2 için: \( (2^0 + 2^1 + 2^2) \)
- 3 için: \( (3^0 + 3^1) \)
- 5 için: \( (5^0 + 5^1) \)
- Pozitif Bölenlerin Toplamı \( = (2^0 + 2^1 + 2^2) \cdot (3^0 + 3^1) \cdot (5^0 + 5^1) \)
- Pozitif Bölenlerin Toplamı \( = (1 + 2 + 4) \cdot (1 + 3) \cdot (1 + 5) \)
- Pozitif Bölenlerin Toplamı \( = 7 \cdot 4 \cdot 6 \)
- Pozitif Bölenlerin Toplamı \( = 28 \cdot 6 \)
- Pozitif Bölenlerin Toplamı \( = 168 \)
- Yani, 60 sayısının pozitif bölenlerinin toplamı 168'dir. ✅
Örnek 4:
🔢 36 sayısının pozitif bölenlerinin çarpımını bulunuz.
Çözüm:
- Bir doğal sayının pozitif bölenlerinin çarpımını bulmak için \( \sqrt{\text{Sayı}^{\text{Pozitif Bölen Sayısı}}} \) formülünü kullanırız.
- Öncelikle 36 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
- \( 36 = 6^2 = (2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 \)
- Şimdi pozitif bölen sayısını (PBS) bulalım:
- \( PBS = (2+1) \cdot (2+1) = 3 \cdot 3 = 9 \)
- 36 sayısının 9 tane pozitif böleni vardır.
- Pozitif Bölenlerin Çarpımı \( = \sqrt{36^9} \)
- Bu ifadeyi üslü olarak \( (36^9)^{1/2} \) şeklinde yazabiliriz.
- Pozitif Bölenlerin Çarpımı \( = 36^{9/2} \)
- \( 36 = 6^2 \) olduğundan, yerine yazarsak: \( (6^2)^{9/2} = 6^{2 \cdot (9/2)} = 6^9 \)
- Yani, 36 sayısının pozitif bölenlerinin çarpımı \( 6^9 \)'dur. 🎉
Örnek 5:
🧩 Pozitif bölen sayısı 10 olan en küçük doğal sayıyı bulunuz.
Çözüm:
- Bir sayının pozitif bölen sayısı, asal çarpanlarının üslerinin birer artırılıp çarpılmasıyla bulunur.
- 10 sayısını çarpanlarına ayıralım: \( 10 = 10 \cdot 1 \) veya \( 10 = 5 \cdot 2 \).
- Durum 1: Sadece bir asal çarpanı olan bir sayı.
- Eğer sayının tek bir asal çarpanı varsa, örneğin \( a^x \) şeklinde, o zaman \( x+1 = 10 \) olur. Buradan \( x = 9 \) elde ederiz.
- En küçük asal sayı 2 olduğu için, bu durumdaki en küçük sayı \( 2^9 = 512 \) olur.
- Durum 2: İki farklı asal çarpanı olan bir sayı.
- Eğer sayının iki farklı asal çarpanı varsa, örneğin \( a^x \cdot b^y \) şeklinde, o zaman \( (x+1) \cdot (y+1) = 10 \) olur.
- Buradan \( x+1 = 5 \) ve \( y+1 = 2 \) (veya tam tersi) olabilir.
- Yani \( x = 4 \) ve \( y = 1 \) olur.
- En küçük doğal sayıyı elde etmek için, büyük üssü küçük asal sayıya, küçük üssü büyük asal sayıya vermeliyiz.
- Asal sayılarımız 2 ve 3 olduğuna göre, \( 2^4 \cdot 3^1 \) veya \( 2^1 \cdot 3^4 \) olabilir.
- \( 2^4 \cdot 3^1 = 16 \cdot 3 = 48 \)
- \( 2^1 \cdot 3^4 = 2 \cdot 81 = 162 \)
- Bu durumdaki en küçük sayı 48'dir.
- Her iki durumu karşılaştırdığımızda, pozitif bölen sayısı 10 olan en küçük doğal sayı 48'dir. 🎉
Örnek 6:
✨ \( N = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \) sayısının kaç tane çift pozitif böleni olduğunu bulunuz.
Çözüm:
- Bir sayının çift pozitif bölenlerini bulmak için, asal çarpanlara ayrılmış ifadesinde 2 çarpanını en az bir kez içermesi gerekir.
- \( N = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \) sayısının tüm pozitif bölenleri \( 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c \) şeklindedir; burada \( 0 \le a \le 3 \), \( 0 \le b \le 2 \), \( 0 \le c \le 1 \).
- Bölenin çift olması için \( a \) üssünün en az 1 olması gerekir. Yani \( a \in \{1, 2, 3\} \) olabilir. (3 farklı seçenek)
- \( b \) üssü için \( b \in \{0, 1, 2\} \) olabilir. (3 farklı seçenek)
- \( c \) üssü için \( c \in \{0, 1\} \) olabilir. (2 farklı seçenek)
- Çift pozitif bölen sayısı \( = (\text{2'nin üssü için seçenek sayısı}) \cdot (\text{3'ün üssü için seçenek sayısı}) \cdot (\text{5'in üssü için seçenek sayısı}) \)
- Çift Pozitif Bölen Sayısı \( = 3 \cdot 3 \cdot 2 \)
- Çift Pozitif Bölen Sayısı \( = 18 \)
- Yani, \( N = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \) sayısının 18 tane çift pozitif böleni vardır. ✅
Örnek 7:
📦 Bir depoda 180 adet özdeş kutu bulunmaktadır. Bu kutular, her sırada eşit sayıda kutu olacak şekilde ve en az 2, en fazla 15 sıra olacak biçimde raflara dizilecektir. Buna göre, kutular kaç farklı şekilde raflara dizilebilir?
Çözüm:
- Bu problem, 180 sayısının bölenlerini bulma problemidir. Her sırada eşit sayıda kutu olması demek, sıra sayısının 180'in bir böleni olması demektir.
- Öncelikle 180 sayısının asal çarpanlarını bulalım:
- \( 180 = 18 \cdot 10 = (2 \cdot 3^2) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \)
- 180 sayısının pozitif bölenlerini bulalım (bu bize olası sıra sayılarını verecektir):
- \( PBS = (2+1) \cdot (2+1) \cdot (1+1) = 3 \cdot 3 \cdot 2 = 18 \)
- 180'in pozitif bölenleri: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180.
- Soruda verilen koşullar:
- "en az 2 sıra" olacak: Bu durumda 1 sırayı (1 bölenini) elememiz gerekir.
- "en fazla 15 sıra" olacak: Bu durumda 15'ten büyük bölenleri elememiz gerekir.
- Koşulları sağlayan bölenleri (yani olası sıra sayılarını) listeleyelim:
- 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15
- Bu bölenler, kutuların dizilebileceği farklı sıra sayılarını temsil eder.
- Toplamda 9 farklı şekilde kutular raflara dizilebilir. ✅
Örnek 8:
👨👩👧👦 Bir okulda 96 öğrenci, bir etkinlik için eşit sayıda kişiden oluşan gruplara ayrılacaktır. Her grupta en az 4, en fazla 16 öğrenci bulunması gerekmektedir. Buna göre, bu öğrenciler kaç farklı şekilde gruplara ayrılabilir?
Çözüm:
- Bu problem, 96 sayısının bölenlerini bulma ve belirli koşullara göre filtreleme problemidir. Grup sayısı veya her gruptaki kişi sayısı, 96'nın bir böleni olmalıdır.
- Öncelikle 96 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
- \( 96 = 2 \cdot 48 = 2 \cdot 2 \cdot 24 = 2^3 \cdot 3 \cdot 2^2 = 2^5 \cdot 3^1 \)
- 96 sayısının pozitif bölenlerini bulalım:
- \( PBS = (5+1) \cdot (1+1) = 6 \cdot 2 = 12 \)
- 96'nın pozitif bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96.
- Soruda verilen koşullar: "Her grupta en az 4, en fazla 16 öğrenci bulunması gerekmektedir." Bu, her gruptaki kişi sayısının 4 ile 16 arasında bir bölen olması gerektiği anlamına gelir.
- Koşulları sağlayan bölenleri (yani her gruptaki öğrenci sayısını) listeleyelim:
- 4, 6, 8, 12, 16
- Bu sayılar, her grupta bulunabilecek öğrenci sayısını gösterir. Her biri farklı bir grup oluşturma şekline karşılık gelir.
- Toplamda 5 farklı şekilde gruplar oluşturulabilir. 🎉
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-bir-dogal-sayi-ile-asal-carpanlari-ve-bolenleri-arasindaki-iliskiler/sorular