📄 10. Sınıf Matematik: Bir Doğal Sayı İle Asal Çarpanları Ve Bölenleri Arasındaki İlişkiler Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Öncelikle 180 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
\[180 = 18 \cdot 10 = (2 \cdot 3^2) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^1\]
Bu durumda 180 sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir.

Pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını bulmak için asal çarpanların üslerinin birer fazlasını çarparız:
Pozitif Bölen Sayısı \(= (2+1)(2+1)(1+1) = 3 \cdot 3 \cdot 2 = 18\)

180 sayısının pozitif tam sayı bölenleri ise şunlardır: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180.

💡 Çözüm Adımları:

Bir sayının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı, asal çarpanlarına ayrılmış halindeki üslerin birer fazlasının çarpımıyla bulunur. Verilen sayının asal çarpanlara ayrılmış hali \(2^3 \cdot 3^x \cdot 5^1\) şeklindedir.

Pozitif Bölen Sayısı \(= (3+1)(x+1)(1+1)\)
Bu ifade 32'ye eşit olduğuna göre:
\[(3+1)(x+1)(1+1) = 32\]
\[4 \cdot (x+1) \cdot 2 = 32\]
\[8 \cdot (x+1) = 32\]
Her iki tarafı 8'e bölersek:
\[x+1 = \frac{32}{8}\]
\[x+1 = 4\]
\[x = 4-1\]
\[x = 3\]
Buna göre \(x\) değeri 3'tür.

💡 Çözüm Adımları:

Sayının asal çarpanları 2 ve 7 olduğuna göre, bu sayı \(N = 2^a \cdot 7^b\) şeklinde olmalıdır. Burada \(a\) ve \(b\) pozitif tam sayılardır.

Pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı \((a+1)(b+1)\) formülü ile bulunur ve bu sayı 6 olarak verilmiştir:
\[(a+1)(b+1) = 6\]
\(a+1\) ve \(b+1\) için olası tam sayı çarpan çiftleri (1, 6), (6, 1), (2, 3) ve (3, 2)'dir.

Durum 1: \(a+1=1\) ve \(b+1=6\)
\(a=0\) ve \(b=5\). Bu durumda sayı \(2^0 \cdot 7^5 = 1 \cdot 16807 = 16807\) olur. (Ancak \(a\) ve \(b\) pozitif tam sayı olmalıydı. 0 üs, o asal çarpanın aslında sayının çarpanı olmadığını gösterir. Soru kökünde 'asal çarpanları 2 ve 7'dir' dendiği için \(a, b \ge 1\) olmalıdır. Bu durumları eleyebiliriz.)

Durum 2: \(a+1=6\) ve \(b+1=1\)
\(a=5\) ve \(b=0\). Sayı \(2^5 \cdot 7^0 = 32 \cdot 1 = 32\) olur. (Yukarıdaki sebeple bu da elenir.)

Durum 3: \(a+1=2\) ve \(b+1=3\)
\(a=1\) ve \(b=2\). Bu durumda sayı \(N = 2^1 \cdot 7^2 = 2 \cdot 49 = 98\) olur.

Durum 4: \(a+1=3\) ve \(b+1=2\)
\(a=2\) ve \(b=1\). Bu durumda sayı \(N = 2^2 \cdot 7^1 = 4 \cdot 7 = 28\) olur.

Asal çarpanları 2 ve 7 olan ve pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı 6 olan sayılar 98 ve 28'dir. Bu iki sayıdan en küçüğü 28'dir.