Bir Doğal Sayı İle Asal Çarpanları Ve Bölenleri Arasındaki İlişkiler Ders Notu

Bu ders notunda, bir doğal sayının asal çarpanları ile bölenleri arasındaki ilişkileri detaylı bir şekilde inceleyeceğiz. Bir doğal sayının asal çarpanlarına ayrılması, o sayının bölenlerini ve diğer özelliklerini anlamamız için temel bir adımdır.

1. Asal Sayılar ve Asal Çarpanlar 🤔

Bir doğal sayının asal çarpanlarını bulmadan önce, asal sayının ne olduğunu hatırlayalım:

• Asal Sayı: 1'den büyük, 1 ve kendisinden başka pozitif tam böleni olmayan doğal sayılara asal sayı denir.
• En küçük asal sayı 2'dir. Tek çift asal sayı da 2'dir.
• Örnekler: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

Asal Çarpan: Bir doğal sayıyı tam bölen asal sayılara o sayının asal çarpanları denir.

1.1. Bir Doğal Sayıyı Asal Çarpanlarına Ayırma Yöntemleri 🌳

Bir doğal sayıyı asal çarpanlarına ayırmak için iki temel yöntem kullanılır:

a) Çarpan Ağacı Yöntemi

Sayı, dallara ayrılarak asal çarpanlarına ulaşılana kadar parçalanır.

Örnek: 60 sayısını çarpan ağacı yöntemiyle asal çarpanlarına ayıralım.

60

/ \

2 30

/ \

2 15

/ \

3 5

Buna göre, 60 sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. 60 sayısı üslü ifade olarak \( 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \) şeklinde yazılır.

b) Bölme Algoritması (Asal Çarpanlara Ayırma Çizgisi) Yöntemi

Sayı, en küçük asal sayıdan başlanarak sırasıyla asal sayılara bölünür. Bölümlerin yanına bölünen asal sayılar yazılır.

Örnek: 120 sayısını bölme algoritması yöntemiyle asal çarpanlarına ayıralım.

120 | 2

60 | 2

30 | 2

15 | 3

5 | 5

1 |

Buna göre, 120 sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. 120 sayısı üslü ifade olarak \( 2^3 \times 3^1 \times 5^1 \) şeklinde yazılır.

2. Asal Çarpanları Bilinen Bir Sayının Bölenleri Arasındaki İlişkiler 🔢

Bir doğal sayı \( N \)'nin asal çarpanlarına ayrılmış hali \( N = a^x \times b^y \times c^z \) olsun. Burada a, b, c farklı asal sayılar ve x, y, z birer pozitif tam sayıdır.

2.1. Pozitif Tam Sayı Bölenlerinin Sayısı (PTBS) ✨

Bir doğal sayının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını bulmak için, asal çarpanlara ayrılmış halindeki her bir asal çarpanın üssü 1 artırılarak çarpılır.

\[ \text{PTBS}(N) = (x+1) \times (y+1) \times (z+1) \]

Örnek: 60 sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını bulalım.

Önce 60'ı asal çarpanlarına ayıralım: \( 60 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \)

Üsler: 2, 1, 1

PTBS(60) \( = (2+1) \times (1+1) \times (1+1) \)

PTBS(60) \( = 3 \times 2 \times 2 = 12 \)

60 sayısının 12 tane pozitif tam sayı böleni vardır. Bunlar: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.

2.2. Tüm Tam Sayı Bölenlerinin Sayısı (TTBS) ➕➖

Bir doğal sayının tam sayı bölenleri, pozitif bölenlerinin yanı sıra bunların negatif değerlerini de içerir. Bu nedenle, tüm tam sayı bölenlerinin sayısı, pozitif tam sayı bölenlerinin sayısının 2 katıdır.

\[ \text{TTBS}(N) = 2 \times \text{PTBS}(N) = 2 \times (x+1) \times (y+1) \times (z+1) \]

Örnek: 60 sayısının tüm tam sayı bölenlerinin sayısını bulalım.

PTBS(60) = 12 olduğunu biliyoruz.

TTBS(60) \( = 2 \times 12 = 24 \)

60 sayısının 24 tane tam sayı böleni vardır.

2.3. Asal Olmayan Pozitif Tam Sayı Bölenlerinin Sayısı 🌿

Bir doğal sayının asal olmayan pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı, tüm pozitif tam sayı bölenlerinin sayısından, sayının asal çarpanlarının sayısının çıkarılmasıyla bulunur.

\[ \text{Asal Olmayan PTBS} = \text{PTBS}(N) - (\text{Asal Çarpan Sayısı}) \]

Örnek: 60 sayısının asal olmayan pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını bulalım.

PTBS(60) = 12

60 sayısının asal çarpanları 2, 3, 5 olmak üzere 3 tanedir.

Asal Olmayan PTBS(60) \( = 12 - 3 = 9 \)

Bunlar: 1, 4, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.

2.4. Asal Olmayan Tam Sayı Bölenlerinin Sayısı 🍂

Bir doğal sayının asal olmayan tüm tam sayı bölenlerinin sayısı, tüm tam sayı bölenlerinin sayısından, sayının asal çarpanlarının sayısının çıkarılmasıyla bulunur.

\[ \text{Asal Olmayan TTBS} = \text{TTBS}(N) - (\text{Asal Çarpan Sayısı}) \]

Örnek: 60 sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin sayısını bulalım.

TTBS(60) = 24

60 sayısının asal çarpanları 2, 3, 5 olmak üzere 3 tanedir.

Asal Olmayan TTBS(60) \( = 24 - 3 = 21 \)

2.5. Pozitif Tam Sayı Bölenlerinin Toplamı ➕

Bir doğal sayının pozitif tam sayı bölenlerinin toplamını bulmak için her bir asal çarpanın kuvvetlerini 0'dan başlayarak üssüne kadar toplarız ve bu toplamları birbiriyle çarparız.

Eğer \( N = a^x \times b^y \times c^z \) ise,

\[ \text{PTBT}(N) = (a^0 + a^1 + ... + a^x) \times (b^0 + b^1 + ... + b^y) \times (c^0 + c^1 + ... + c^z) \]

Örnek: 12 sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin toplamını bulalım.

12'yi asal çarpanlarına ayıralım: \( 12 = 2^2 \times 3^1 \)

PTBT(12) \( = (2^0 + 2^1 + 2^2) \times (3^0 + 3^1) \)

PTBT(12) \( = (1 + 2 + 4) \times (1 + 3) \)

PTBT(12) \( = 7 \times 4 = 28 \)

12'nin pozitif bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Toplamları: \( 1+2+3+4+6+12 = 28 \).

2.6. Belirli Bir Sayının Katı Olan Bölenlerin Sayısı 🎯

Bir doğal sayının belirli bir sayının katı olan pozitif bölenlerinin sayısını bulmak için, sayıyı istenen katın çarpanı şeklinde yazarız ve kalan kısmın pozitif bölen sayısını hesaplarız.

Örnek: 72 sayısının 6'nın katı olan pozitif bölenlerinin sayısını bulalım.

72'yi asal çarpanlarına ayıralım: \( 72 = 2^3 \times 3^2 \)

6'nın katı olan bölenleri aradığımız için, \( 72 = 6 \times k \) şeklinde düşünebiliriz. Buradan \( k = 72 \div 6 = 12 \).

Şimdi 12'yi asal çarpanlarına ayıralım: \( 12 = 2^2 \times 3^1 \)

12'nin pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı PTBS(12) \( = (2+1) \times (1+1) = 3 \times 2 = 6 \).

Bu 6 bölen, 72'nin 6'nın katı olan bölenleridir.

Yani 72'nin 6'nın katı olan bölenleri: \( 6 \times 1 = 6 \), \( 6 \times 2 = 12 \), \( 6 \times 3 = 18 \), \( 6 \times 4 = 24 \), \( 6 \times 6 = 36 \), \( 6 \times 12 = 72 \).