💡 10. Sınıf Matematik: Asal Sayılar Çözümlü Örnekler

Hangi ifadelerin asal sayı tanımına uygun olduğunu inceleyelim:

• 👉 I. İfade: "Sadece 1 ve kendisine bölünebilen 1'den büyük doğal sayılar."
  Bu ifade, asal sayı tanımının ta kendisidir. Örneğin, 7 sayısı sadece 1 ve 7'ye bölünebilir ve 1'den büyüktür. ✅
• 👉 II. İfade: "En küçük asal sayı 1'dir."
  Asal sayılar 1'den büyük olmalıdır. En küçük asal sayı 2'dir. Bu nedenle bu ifade yanlıştır. ❌
• 👉 III. İfade: "Çift asal sayı sadece 2'dir."
  2 sayısı hem çift hem de asal olan tek sayıdır. Diğer tüm çift sayılar 2'ye bölünebildiği için asal olamazlar. Bu ifade doğrudur. ✅

💡 Buna göre, I ve III numaralı ifadeler doğrudur.

120 sayısını asal çarpanlarına ayırmak için bölme çizgisi yöntemini kullanalım:

• 120'yi en küçük asal sayı olan 2'ye bölelim: \( 120 \div 2 = 60 \)
• 60'ı tekrar 2'ye bölelim: \( 60 \div 2 = 30 \)
• 30'u tekrar 2'ye bölelim: \( 30 \div 2 = 15 \)
• 15, 2'ye bölünmez. Bir sonraki asal sayı olan 3'e bölelim: \( 15 \div 3 = 5 \)
• 5, 3'e bölünmez. Bir sonraki asal sayı olan 5'e bölelim: \( 5 \div 5 = 1 \)

👉 Böylece 120 sayısının asal çarpanları 2, 2, 2, 3 ve 5 olarak bulunur.
Üslü biçimde gösterimi ise şöyledir:

✅ 120 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali \( 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \) şeklindedir.

A sayısını bulmak için verilen asal çarpanların kuvvetlerini hesaplayıp çarpmamız yeterlidir:

• Öncelikle her bir asal çarpanın değerini bulalım:
• \( 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \)
• \( 3^2 = 3 \cdot 3 = 9 \)
• \( 5^1 = 5 \)
• Şimdi bu değerleri çarpalım:
• \( A = 8 \cdot 9 \cdot 5 \)
• \( A = 72 \cdot 5 \)
• \( A = 360 \)

✅ Asal çarpanları \( 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \) şeklinde verilen A sayısı 360'tır.

Bir sayının pozitif tam bölen sayısını bulmak için öncelikle sayıyı asal çarpanlarına ayırmalıyız:

• 90 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
• \( 90 \div 2 = 45 \)
• \( 45 \div 3 = 15 \)
• \( 15 \div 3 = 5 \)
• \( 5 \div 5 = 1 \)
• Böylece \( 90 = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \) şeklinde asal çarpanlarına ayrılır.
• Pozitif tam bölen sayısını bulmak için, asal çarpanların üslerini birer artırıp çarparız:
• Asal çarpanlar ve üsleri: 2'nin üssü 1, 3'ün üssü 2, 5'in üssü 1.
• Üsleri birer artırırsak: \( (1+1) \), \( (2+1) \), \( (1+1) \)
• Bu değerleri çarpalım: \( (1+1) \cdot (2+1) \cdot (1+1) = 2 \cdot 3 \cdot 2 = 12 \)

✅ 90 sayısının 12 tane pozitif tam böleni vardır.

Bu tür bir soruyu çözmek için iki adımı takip etmeliyiz:

• Adım 1: 72 sayısının tüm pozitif tam bölenlerinin sayısını bulalım.
• Öncelikle 72'yi asal çarpanlarına ayıralım:
• \( 72 = 2^3 \cdot 3^2 \)
• Pozitif tam bölen sayısını bulmak için üsleri birer artırıp çarpalım:
• \( (3+1) \cdot (2+1) = 4 \cdot 3 = 12 \)
• Yani, 72 sayısının 12 tane pozitif tam böleni vardır.
• Adım 2: 72 sayısının asal bölenlerinin sayısını bulalım.
• 72'nin asal çarpanları (yani asal bölenleri) 2 ve 3'tür.
• Yani, 72'nin 2 tane asal böleni vardır.
• Adım 3: Asal olmayan pozitif tam bölen sayısını bulalım.
• Tüm pozitif tam bölen sayısından asal bölen sayısını çıkarırız:
• \( 12 - 2 = 10 \)

✅ 72 sayısının asal olmayan 10 tane pozitif tam böleni vardır.

Fiyatı 75 TL olan tişörtün etiketine yazılacak sayıyı bulmak için, 75 sayısını asal çarpanlarına ayırmalıyız:

• 75'i en küçük asal sayı olan 2'ye bölemeyiz.
• 75'i 3'e bölelim: \( 75 \div 3 = 25 \)
• 25'i 3'e bölemeyiz. Bir sonraki asal sayı olan 5'e bölelim: \( 25 \div 5 = 5 \)
• 5'i 5'e bölelim: \( 5 \div 5 = 1 \)
• Böylece 75 sayısının asal çarpanları \( 3^1 \cdot 5^2 \) olarak bulunur.
• Mağazanın etiketleme kuralına göre, asal çarpanların üsleri küçükten büyüğe doğru sıralanır.
• Asal çarpanlar 3 ve 5'tir. 3'ün üssü 1, 5'in üssü 2'dir.
• Küçük asal çarpan 3 olduğu için önce onun üssünü (1) yazarız.
• Ardından büyük asal çarpan 5 olduğu için onun üssünü (2) yazarız.

✅ Fiyatı 75 TL olan tişörtün etiketine 12 sayısı yazılmalıdır.

Asal sayıların dijital güvenlik ve şifreleme algoritmalarındaki rolü oldukça kritiktir:

• 🔐 Büyük Asal Sayıların Önemi: Şifreleme algoritmaları (özellikle RSA gibi yaygın kullanılanlar), iki çok büyük asal sayının çarpımının bir sayıyı oluşturması prensibine dayanır.
• 🧩 Çarpanlara Ayırmanın Zorluğu: Bir sayının asal çarpanlarını bulmak, özellikle sayı çok büyükse, bilgisayarlar için bile oldukça zor ve zaman alıcı bir işlemdir. Milyarlarca basamaklı bir sayının asal çarpanlarını bulmak, mevcut teknolojiyle neredeyse imkansızdır.
• 🔒 Güvenlik Temeli: Şifreleme sistemleri, bu zorluğa dayanır. İletişim sırasında oluşturulan "açık anahtar" (public key) bu iki büyük asal sayının çarpımıdır. Ancak bu sayıyı oluşturan asal çarpanlar (gizli anahtar) bilinmez. Eğer kötü niyetli bir kişi açık anahtarı ele geçirse bile, onu oluşturan asal çarpanları bulamadığı sürece şifrelenmiş verileri çözemez.
• 🛡️ Veri Koruma: Bu sayede, banka hesap bilgilerimiz, kredi kartı numaralarımız veya özel mesajlarımız gibi hassas verilerimiz internet üzerinden güvenle aktarılabilir ve korunabilir.

✅ Kısacası, asal sayıların çarpanlara ayrılmasının zorluğu, dijital dünyadaki güvenlik duvarımızın temelini oluşturur ve verilerimizi kötü niyetli erişimden korur.

Asal çarpanlarına ayrılmış iki sayının EBOB ve EKOK'unu bulmak için belirli kuralları uygularız:

• EBOB (En Büyük Ortak Bölen) Bulma:
• EBOB için, her iki sayıda da bulunan (ortak olan) asal çarpanlardan üssü en küçük olanları alırız ve çarparız.
• Ortak asal çarpanlar 2 ve 3'tür. (5 ve 7 ortak değildir.)
• 2 için: \( 2^3 \) ve \( 2^2 \). En küçük üslü olan \( 2^2 \)'dir.
• 3 için: \( 3^2 \) ve \( 3^1 \). En küçük üslü olan \( 3^1 \)'dir.
• EBOB(A,B) \( = 2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12 \)
• EKOK (En Küçük Ortak Kat) Bulma:
• EKOK için, her iki sayıda bulunan tüm asal çarpanlardan üssü en büyük olanları alırız ve çarparız. Ortak olmayan asal çarpanları da olduğu gibi alırız.
• 2 için: \( 2^3 \) ve \( 2^2 \). En büyük üslü olan \( 2^3 \)'tür.
• 3 için: \( 3^2 \) ve \( 3^1 \). En büyük üslü olan \( 3^2 \)'dir.
• 5 için: \( 5^1 \) (sadece A'da var, olduğu gibi alırız).
• 7 için: \( 7^1 \) (sadece B'de var, olduğu gibi alırız).
• EKOK(A,B) \( = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \cdot 7^1 = 8 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 7 \)
• EKOK(A,B) \( = 72 \cdot 35 \)
• EKOK(A,B) \( = 2520 \)

✅ Buna göre, EBOB(A,B) = 12 ve EKOK(A,B) = 2520'dir.