Asal Sayılar Ders Notu

Asal sayılar, matematiğin temel yapı taşlarından biridir ve sayı teorisinin önemli bir bölümünü oluşturur. Bu konuda, asal sayıların ne olduğunu, özelliklerini, bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmayı ve asal çarpanlar yardımıyla bir sayının bölen sayısını veya EBOB-EKOK gibi kavramları nasıl bulacağımızı öğreneceğiz.

Asal Sayılar Nedir? 🤔

Sadece 1'e ve kendisine bölünebilen, 1'den büyük doğal sayılara asal sayılar denir.

• En küçük asal sayı 2'dir.
• 2, çift sayılar arasında tek asal sayıdır. Diğer tüm asal sayılar tek sayıdır.
• Asal sayılar sonsuz tanedir.

Örnek:

• 2 (bölenleri: 1, 2)
• 3 (bölenleri: 1, 3)
• 5 (bölenleri: 1, 5)
• 7 (bölenleri: 1, 7)
• 11 (bölenleri: 1, 11)
• ...

Bileşik Sayılar Nedir?

1'den büyük olup asal olmayan doğal sayılara bileşik sayılar denir. Bileşik sayılar, 1 ve kendisi dışında en az bir pozitif tam sayıya daha bölünebilir.

• 4 (bölenleri: 1, 2, 4)
• 6 (bölenleri: 1, 2, 3, 6)
• 9 (bölenleri: 1, 3, 9)

Önemli Not: 1 sayısı asal sayı değildir ve bileşik sayı da değildir. 1, özel bir doğal sayıdır.

Bir Sayıyı Asal Çarpanlarına Ayırma फैक्टर

Her bileşik sayı, asal sayıların çarpımı şeklinde yazılabilir. Bir doğal sayıyı asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazmaya asal çarpanlarına ayırma denir.

Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak için, o sayıyı en küçük asal sayıdan başlayarak bölmeye devam ederiz. Bölüm bir olana kadar bu işleme devam ederiz.

Örnek: 60 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

\[ \begin{array}{r|l} 60 & 2 \\ 30 & 2 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \\ \end{array} \]

Buna göre, \( 60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \) şeklinde yazılır.

Bir Sayının Pozitif Tam Sayı Bölenlerinin Sayısı 🔢

Bir sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali \( A = a^x \times b^y \times c^z \) olsun. Burada a, b, c asal sayılar ve x, y, z pozitif tam sayılardır.

Bu durumda, A sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı (PTBS), üslerin birer fazlasının çarpımıyla bulunur:

\[ \text{PTBS} = (x+1) \times (y+1) \times (z+1) \]

Örnek: 60 sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını bulalım.

Önce 60'ı asal çarpanlarına ayırırız: \( 60 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \).

Üsler: 2, 1, 1.

PTBS \( = (2+1) \times (1+1) \times (1+1) \)

PTBS \( = 3 \times 2 \times 2 = 12 \)

60 sayısının 12 tane pozitif tam sayı böleni vardır. (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60)

Önemli Not: Bir sayının tam sayı bölenlerinin sayısı, pozitif tam sayı bölenlerinin sayısının 2 katıdır. Çünkü her pozitif bölenin bir de negatif karşılığı vardır.

60 sayısının tam sayı bölenlerinin sayısı \( = 12 \times 2 = 24 \).

Bir Sayının Pozitif Tam Sayı Bölenlerinin Toplamı ➕

Bir sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali \( A = a^x \times b^y \times c^z \) olsun.

Bu durumda, A sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin toplamı (PTBT) şu formülle bulunur:

\[ \text{PTBT} = (1+a+a^2+...+a^x) \times (1+b+b^2+...+b^y) \times (1+c+c^2+...+c^z) \]

Veya daha pratik bir şekilde:

\[ \text{PTBT} = \frac{a^{x+1}-1}{a-1} \times \frac{b^{y+1}-1}{b-1} \times \frac{c^{z+1}-1}{c-1} \]

Örnek: 12 sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin toplamını bulalım.

Önce 12'yi asal çarpanlarına ayırırız: \( 12 = 2^2 \times 3^1 \).

PTBT \( = (1+2^1+2^2) \times (1+3^1) \)

PTBT \( = (1+2+4) \times (1+3) \)

PTBT \( = 7 \times 4 = 28 \)

12 sayısının pozitif tam sayı bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Toplamları \( 1+2+3+4+6+12 = 28 \).

En Büyük Ortak Bölen (EBOB) ve En Küçük Ortak Kat (EKOK) 🤝

İki veya daha fazla sayının asal çarpanlarına ayrılmasıyla EBOB ve EKOK kolayca bulunabilir.

EBOB (En Büyük Ortak Bölen)

İki veya daha fazla doğal sayının ortak bölenleri arasında en büyüğüne En Büyük Ortak Bölen (EBOB) denir.

Sayılar asal çarpanlarına ayrıldıktan sonra:

• Ortak olan asal çarpanlardan, üssü küçük olanlar alınır ve çarpılır.

Örnek: 24 ve 36 sayılarının EBOB'unu bulalım.

• \( 24 = 2^3 \times 3^1 \)
• \( 36 = 2^2 \times 3^2 \)

Ortak asal çarpanlar 2 ve 3'tür.

• 2'nin üsleri 3 ve 2. Küçük olan \( 2^2 \).
• 3'ün üsleri 1 ve 2. Küçük olan \( 3^1 \).

EBOB(24, 36) \( = 2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12 \).

EKOK (En Küçük Ortak Kat)

İki veya daha fazla doğal sayının ortak katları arasında en küçüğüne En Küçük Ortak Kat (EKOK) denir.

Sayılar asal çarpanlarına ayrıldıktan sonra:

• Tüm farklı asal çarpanlardan, üssü büyük olanlar alınır ve çarpılır.

Örnek: 24 ve 36 sayılarının EKOK'unu bulalım.

• \( 24 = 2^3 \times 3^1 \)
• \( 36 = 2^2 \times 3^2 \)

Tüm farklı asal çarpanlar 2 ve 3'tür.

• 2'nin üsleri 3 ve 2. Büyük olan \( 2^3 \).
• 3'ün üsleri 1 ve 2. Büyük olan \( 3^2 \).

EKOK(24, 36) \( = 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72 \).

EBOB ve EKOK Arasındaki İlişki

İki pozitif tam sayı a ve b olmak üzere, bu sayıların EBOB'u ile EKOK'unun çarpımı, sayıların çarpımına eşittir:

\[ a \times b = \text{EBOB}(a,b) \times \text{EKOK}(a,b) \]

Örnek: 24 ve 36 sayıları için bu ilişkiyi kontrol edelim.

• EBOB(24, 36) = 12
• EKOK(24, 36) = 72

\( 24 \times 36 = 864 \)

\( 12 \times 72 = 864 \)

Görüldüğü gibi, \( 24 \times 36 = text{EBOB}(24,36) \times text{EKOK}(24,36) \) eşitliği sağlanmaktadır.