💡 10. Sınıf Matematik: Asal Çarpanlarına Ayırma Çözümlü Örnekler

Bu soruda 72 sayısını en küçük asal sayıdan başlayarak bölme yöntemini kullanacağız.

• ✅ 72'yi 2'ye bölelim: \( 72 \div 2 = 36 \)
• ✅ 36'yı 2'ye bölelim: \( 36 \div 2 = 18 \)
• ✅ 18'i 2'ye bölelim: \( 18 \div 2 = 9 \)
• ✅ 9'u 3'e bölelim (çünkü artık 2'ye bölünmez): \( 9 \div 3 = 3 \)
• ✅ 3'ü 3'e bölelim: \( 3 \div 3 = 1 \)

👉 Bu durumda, 72 sayısının asal çarpanları 2 ve 3'tür.
72'yi üslü biçimde yazarsak: \[ 72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^2 \]

Önce 2500 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

• ✅ 2500'ü 2'ye bölelim: \( 2500 \div 2 = 1250 \)
• ✅ 1250'yi 2'ye bölelim: \( 1250 \div 2 = 625 \)
• ✅ 625'i 5'e bölelim (çünkü artık 2'ye bölünmez ve 3'e de bölünmez): \( 625 \div 5 = 125 \)
• ✅ 125'i 5'e bölelim: \( 125 \div 5 = 25 \)
• ✅ 25'i 5'e bölelim: \( 25 \div 5 = 5 \)
• ✅ 5'i 5'e bölelim: \( 5 \div 5 = 1 \)

👉 2500 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış şekli: \[ 2500 = 2^2 \times 5^4 \] Şimdi pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını bulalım. Asal çarpanların üslerini bir artırıp çarparız:

• ✅ 2'nin üssü 2, 5'in üssü 4.
• ✅ Pozitif bölen sayısı = \( (2+1) \times (4+1) \)
• ✅ Pozitif bölen sayısı = \( 3 \times 5 = 15 \)

Sonuç olarak, 2500 sayısının 15 tane pozitif tam sayı böleni vardır.

Bir sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali \( A = p_1^{a} \times p_2^{b} \times p_3^{c} \) şeklinde ise, çift bölen sayısını bulmak için 2 çarpanını ayırırız.

• ✅ Sayımızı tekrar yazalım: \( A = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 \)
• ✅ Çift bölenler için en az bir tane 2 çarpanı olmalıdır. Bu yüzden bir tane 2'yi dışarı alalım: \( A = 2 \times (2^2 \times 3^2 \times 5^1) \)
• ✅ Parantez içindeki \( (2^2 \times 3^2 \times 5^1) \) ifadesinin pozitif bölen sayısını bulalım. Üsleri bir artırıp çarparız:
• ✅ \( (2+1) \times (2+1) \times (1+1) \)
• ✅ \( 3 \times 3 \times 2 = 18 \)

👉 Bu durumda, \( A \) sayısının 18 tane çift pozitif tam sayı böleni vardır.

Öncelikle 1080 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

• ✅ 1080'i 2'ye bölelim: \( 1080 \div 2 = 540 \)
• ✅ 540'ı 2'ye bölelim: \( 540 \div 2 = 270 \)
• ✅ 270'i 2'ye bölelim: \( 270 \div 2 = 135 \)
• ✅ 135'i 3'e bölelim: \( 135 \div 3 = 45 \)
• ✅ 45'i 3'e bölelim: \( 45 \div 3 = 15 \)
• ✅ 15'i 3'e bölelim: \( 15 \div 3 = 5 \)
• ✅ 5'i 5'e bölelim: \( 5 \div 5 = 1 \)

👉 1080 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış şekli: \[ 1080 = 2^3 \times 3^3 \times 5^1 \] Şimdi tüm pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını bulalım:

• ✅ Pozitif bölen sayısı = \( (3+1) \times (3+1) \times (1+1) \)
• ✅ Pozitif bölen sayısı = \( 4 \times 4 \times 2 = 32 \)

1080 sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. Yani 3 tane asal böleni vardır. Asal olmayan pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını bulmak için, tüm pozitif bölen sayısından asal bölen sayısını çıkarırız:

• ✅ Asal olmayan pozitif bölen sayısı = (Tüm pozitif bölen sayısı) - (Asal bölen sayısı)
• ✅ Asal olmayan pozitif bölen sayısı = \( 32 - 3 = 29 \)

Bu problemde, 180 sayısının 1'den büyük olan pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını bulmamız gerekiyor. Çünkü raf sayısı veya her raftaki kutu sayısı 180'in bir böleni olmalıdır. Öncelikle 180 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

• ✅ 180'i 2'ye bölelim: \( 180 \div 2 = 90 \)
• ✅ 90'ı 2'ye bölelim: \( 90 \div 2 = 45 \)
• ✅ 45'i 3'e bölelim: \( 45 \div 3 = 15 \)
• ✅ 15'i 3'e bölelim: \( 15 \div 3 = 5 \)
• ✅ 5'i 5'e bölelim: \( 5 \div 5 = 1 \)

👉 180 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış şekli: \[ 180 = 2^2 \times 3^2 \times 5^1 \] Şimdi 180 sayısının tüm pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını bulalım:

• ✅ Pozitif bölen sayısı = \( (2+1) \times (2+1) \times (1+1) \)
• ✅ Pozitif bölen sayısı = \( 3 \times 3 \times 2 = 18 \)

Soruda "raftaki kutu sayısı 1'den büyük olacak" deniyor. Bu durumda, 180'in 1 olan bölenini bu sayıdan çıkarmamız gerekir.

• ✅ Farklı dizilim sayısı = (Tüm pozitif bölen sayısı) - (1 olan bölen)
• ✅ Farklı dizilim sayısı = \( 18 - 1 = 17 \)

Yani, kutular 17 farklı şekilde raflara dizilebilir. Örneğin, 2 kutu/raf, 3 kutu/raf, ..., 180 kutu/raf gibi.

Bu soruda verilen sayıların pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını bulmamız gerekiyor. Kodu 12 olan kitabı arıyoruz, yani bölen sayısı 12 olan sayıyı bulmalıyız.

• A) 72:
• ✅ Asal çarpanlarına ayıralım: \( 72 = 2^3 \times 3^2 \)
• ✅ Pozitif bölen sayısı = \( (3+1) \times (2+1) = 4 \times 3 = 12 \)

Bingo! 72 sayısının pozitif bölen sayısı 12'dir. Yani kodu 12 olan kitap 72 numaralı olabilir. Diğer seçenekleri de kontrol edelim:

• B) 90:
• ✅ Asal çarpanlarına ayıralım: \( 90 = 2^1 \times 3^2 \times 5^1 \)
• ✅ Pozitif bölen sayısı = \( (1+1) \times (2+1) \times (1+1) = 2 \times 3 \times 2 = 12 \)

Vay canına, 90 da kodu 12 olan bir kitap olabilirmiş! Bu durumda sorunun tek bir doğru cevabı olması için "hangisi olabilir?" yerine "hangisi kesinlikle?" gibi bir ifade olması gerekirdi veya seçeneklerin sadece bir tanesinin 12 böleni olması gerekirdi. Ancak bu bir alıştırma olduğu için birden fazla cevabın olabileceği durumları da görmek faydalı olabilir. Soruyu "aşağıdaki sayılardan hangisi kodu 12 olan bir kitap numarası olabilir?" diye düşündüğümüzde, A ve B seçenekleri de olabilir. Genellikle bu tür sorularda tek bir doğru cevap beklenir. Diyelim ki soru "Aşağıdakilerden hangisi yalnızca kodu 12 olan bir kitap numarası olabilir?" şeklinde tasarlanmış olsaydı, o zaman diğer seçenekleri elememiz gerekirdi. Ancak mevcut haliyle hem A hem de B doğru cevaptır. Biz ilk bulduğumuz A'yı doğru kabul edelim veya "A ve B" cevabı da doğru olabilir. Eğitim amaçlı diğer seçenekleri de inceleyelim:

• C) 100:
• ✅ Asal çarpanlarına ayıralım: \( 100 = 2^2 \times 5^2 \)
• ✅ Pozitif bölen sayısı = \( (2+1) \times (2+1) = 3 \times 3 = 9 \) (Kodu 9)

• D) 120:
• ✅ Asal çarpanlarına ayıralım: \( 120 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1 \)
• ✅ Pozitif bölen sayısı = \( (3+1) \times (1+1) \times (1+1) = 4 \times 2 \times 2 = 16 \) (Kodu 16)

👉 Sonuç olarak, hem 72 hem de 90 sayılarının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı 12'dir. Bu durumda hem A hem de B şıkkı doğru olabilir. Genellikle bu tür sorularda tek bir seçenek doğru olacak şekilde tasarlanır. Eğer tek bir cevap seçmemiz gerekirse, ilk bulduğumuz A) 72'yi işaretleyebiliriz.

Bu problem, hem balonları hem de kurdeleleri eşit sayıda dağıtabilmek için en büyük ortak böleni (EBOB) bulmayı gerektirir. Ancak biz asal çarpanlara ayırma konusundayız ve EBOB'u asal çarpanlara ayırma yoluyla bulacağız. Öncelikle 90 ve 135 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım:

• 90 sayısının asal çarpanları:
• ✅ \( 90 = 2 \times 45 \)
• ✅ \( 45 = 3 \times 15 \)
• ✅ \( 15 = 3 \times 5 \)
• 👉 Yani, \( 90 = 2^1 \times 3^2 \times 5^1 \)

• 135 sayısının asal çarpanları:
• ✅ \( 135 = 3 \times 45 \)
• ✅ \( 45 = 3 \times 15 \)
• ✅ \( 15 = 3 \times 5 \)
• 👉 Yani, \( 135 = 3^3 \times 5^1 \)

Şimdi ortak asal çarpanların en küçük üslerini alarak EBOB'u bulalım (Bu kısım 10. sınıf müfredatında asal çarpanlara ayırma ile EBOB/EKOK ilişkisi kapsamında ele alınır):

• ✅ Ortak asal çarpanlar 3 ve 5'tir.
• ✅ 3'ün en küçük üssü \( 3^2 \) (90'daki) ve \( 3^3 \) (135'teki) arasından \( 3^2 \)'dir.
• ✅ 5'in en küçük üssü \( 5^1 \) (her ikisinde de) \( 5^1 \)'dir.
• ✅ EBOB(90, 135) = \( 3^2 \times 5^1 = 9 \times 5 = 45 \)

👉 Ayşe 45 paket hazırlayabilir. Her pakette kaç balon ve kaç kurdele olacağını bulalım:

• ✅ Her paketteki balon sayısı = Toplam balon sayısı \( \div \) Paket sayısı = \( 90 \div 45 = 2 \) balon
• ✅ Her paketteki kurdele sayısı = Toplam kurdele sayısı \( \div \) Paket sayısı = \( 135 \div 45 = 3 \) kurdele

Sonuç olarak, Ayşe 45 paket hazırlayabilir ve her pakette 2 balon ve 3 kurdele bulunur.

Bir \( N \) sayısının asal çarpanları sadece 2 ve 3 ise, bu sayı \( N = 2^a \times 3^b \) şeklinde yazılabilir. Pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı (PTBS) ise üslerin bir fazlasının çarpımıyla bulunur: \[ PTBS = (a+1) \times (b+1) \] Soruda PTBS'nin 12 olduğu verilmiş. Yani: \[ (a+1) \times (b+1) = 12 \] \( a \) ve \( b \) doğal sayılar (üsler olduğu için 0 veya pozitif tam sayı) ve en az 1 olmalılar çünkü 2 ve 3 asal çarpanları olduğu belirtilmiş. 12'nin çarpan çiftlerini bulalım:

• ✅ \( 1 \times 12 \)
• ✅ \( 2 \times 6 \)
• ✅ \( 3 \times 4 \)

Şimdi bu çarpan çiftlerini \( (a+1) \) ve \( (b+1) \) değerleri olarak alıp \( a \) ve \( b \) değerlerini bulalım:
Durum 1: \( a+1=1 \) ve \( b+1=12 \)

• ✅ \( a=0 \) ve \( b=11 \)
• ✅ Bu durumda \( N = 2^0 \times 3^{11} = 1 \times 3^{11} = 3^{11} \)
• ✅ Ancak soruda "asal çarpanları sadece 2 ve 3" denildiği için \( a \) ve \( b \) sıfırdan farklı olmalıdır. Yani bu durum elenir. (Eğer sadece 2 asal çarpanı olsaydı \( N=2^a \) olurdu, o zaman \( 3^0 \) kabul edilebilirdi. Ama "sadece 2 ve 3" demek ikisinin de çarpan olarak bulunması demektir.)

Durum 2: \( a+1=2 \) ve \( b+1=6 \)

• ✅ \( a=1 \) ve \( b=5 \)
• ✅ Bu durumda \( N = 2^1 \times 3^5 = 2 \times 243 = 486 \)

Durum 3: \( a+1=3 \) ve \( b+1=4 \)

• ✅ \( a=2 \) ve \( b=3 \)
• ✅ Bu durumda \( N = 2^2 \times 3^3 = 4 \times 27 = 108 \)

Durum 4: \( a+1=4 \) ve \( b+1=3 \) (Durum 3'ün tersi)

• ✅ \( a=3 \) ve \( b=2 \)
• ✅ Bu durumda \( N = 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72 \)

Durum 5: \( a+1=6 \) ve \( b+1=2 \) (Durum 2'nin tersi)

• ✅ \( a=5 \) ve \( b=1 \)
• ✅ Bu durumda \( N = 2^5 \times 3^1 = 32 \times 3 = 96 \)

En az \( N \) sayısını bulmak için hesapladığımız değerleri karşılaştıralım:

• ✅ 486
• ✅ 108
• ✅ 72
• ✅ 96

Bu değerler arasındaki en küçük sayı 72'dir. 👉 Bu durumda, 12 tane pozitif tam sayı böleni olan ve asal çarpanları sadece 2 ve 3 olan en küçük \( N \) sayısı 72'dir.