Asal Çarpanlarına Ayırma Ders Notu

Asal çarpanlarına ayırma, bir sayıyı asal sayıların çarpımı şeklinde ifade etme işlemidir. Bu konu, sayıların özelliklerini anlamak ve ilerideki matematik konularına temel oluşturmak açısından 10. sınıf müfredatının önemli bir parçasıdır.

Asal Sayı Nedir? 🤔

1'den büyük, 1 ve kendisinden başka pozitif tam böleni olmayan sayılara asal sayı denir.

İlk birkaç asal sayı aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

Sıra	Asal Sayı
1.	2
2.	3
3.	5
4.	7
5.	11
6.	13

• En küçük asal sayı 2'dir.
• 2, çift olan tek asal sayıdır.
• Örnek asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...

Asal Çarpan Nedir?

Bir sayının çarpanları (bölenleri) arasında asal olan sayılara asal çarpan denir.

Örneğin, 12 sayısının çarpanları 1, 2, 3, 4, 6, 12'dir. Bu çarpanlar arasında asal olanlar 2 ve 3'tür. Dolayısıyla 12'nin asal çarpanları 2 ve 3'tür.

Bir Sayıyı Asal Çarpanlarına Ayırma Yöntemleri

1. Bölme Algoritması Yöntemi (Asal Çarpan Merdiveni) 🪜

Bu yöntemde, sayı en küçük asal sayıdan başlayarak sırayla asal sayılara bölünür. Bölme işlemi, bölüm 1 olana kadar devam eder. Sağ tarafta elde edilen asal sayılar, sayının asal çarpanlarıdır.

Örnek 1: 60 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

60'ı en küçük asal sayı olan 2'ye böleriz, sonuç 30 olur.
30'u 2'ye böleriz, sonuç 15 olur.
15'i 2'ye bölemeyiz. Bir sonraki asal sayı olan 3'e böleriz, sonuç 5 olur.
5'i 3'e bölemeyiz. Bir sonraki asal sayı olan 5'e böleriz, sonuç 1 olur.

Bu durumda 60 sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. Matematiksel olarak ifade edersek:

\[ 60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \]

2. Çarpan Ağacı Yöntemi 🌲

Bu yöntemde, sayı iki çarpanına ayrılır. Bu çarpanlardan biri asal sayı ise daire içine alınır. Diğer çarpan asal değilse tekrar iki çarpanına ayrılır. Bu işlem, tüm çarpanlar asal olana kadar devam eder.

Örnek 2: 72 sayısını çarpan ağacı yöntemiyle asal çarpanlarına ayıralım.

72'yi 2 ve 36 olarak ayırabiliriz. (2 asal bir sayıdır.)
36'yı 2 ve 18 olarak ayırabiliriz. (2 asal bir sayıdır.)
18'i 2 ve 9 olarak ayırabiliriz. (2 asal bir sayıdır.)
9'u 3 ve 3 olarak ayırabiliriz. (3 asal bir sayıdır.)

Böylece 72 sayısının asal çarpanları 2, 2, 2, 3, 3 olarak bulunur. Üslü ifade şeklinde yazarsak:

\[ 72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^2 \]

Bir Sayının Asal Çarpanlarının Üslü İfade Şeklinde Yazılması

Bir N doğal sayısı, asal çarpanlarına ayrıldığında, farklı asal çarpanlarının kuvvetleri şeklinde yazılabilir:

\[ N = a^x \times b^y \times c^z \]

Burada \(a, b, c\) farklı asal sayılar ve \(x, y, z\) pozitif tam sayılardır.

Bir Sayının Pozitif Tam Bölenlerinin Sayısı (PTBS) ➕

Bir N doğal sayısı asal çarpanlarına ayrıldığında \(N = a^x \times b^y \times c^z\) şeklinde ise, bu sayının pozitif tam bölenlerinin sayısı (PTBS) aşağıdaki formülle bulunur:

\[ PTBS = (x+1) \times (y+1) \times (z+1) \]

Örnek 3: 120 sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısını bulalım.

Önce 120'yi asal çarpanlarına ayıralım:

120'yi 2'ye böleriz, 60.
60'ı 2'ye böleriz, 30.
30'u 2'ye böleriz, 15.
15'i 3'e böleriz, 5.
5'i 5'e böleriz, 1.

Yani \(120 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1\).
Üsler \(x=3\), \(y=1\), \(z=1\).

PTBS \( = (3+1) \times (1+1) \times (1+1) = 4 \times 2 \times 2 = 16 \).

Demek ki 120 sayısının 16 tane pozitif tam böleni vardır.

Bir Sayının Pozitif Tam Bölenlerinin Toplamı (PTBT) ➕

Bir N doğal sayısı asal çarpanlarına ayrıldığında \(N = a^x \times b^y \times c^z\) şeklinde ise, bu sayının pozitif tam bölenlerinin toplamı (PTBT) aşağıdaki formülle bulunur:

\[ PTBT = \left( \frac{a^{x+1}-1}{a-1} \right) \times \left( \frac{b^{y+1}-1}{b-1} \right) \times \left( \frac{c^{z+1}-1}{c-1} \right) \]

Örnek 4: 60 sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamını bulalım.

Önce 60'ı asal çarpanlarına ayıralım:

60'ı 2'ye böleriz, 30.
30'u 2'ye böleriz, 15.
15'i 3'e böleriz, 5.
5'i 5'e böleriz, 1.

Yani \(60 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1\).
Üsler \(x=2\), \(y=1\), \(z=1\).

PTBT \( = \left( \frac{2^{2+1}-1}{2-1} \right) \times \left( \frac{3^{1+1}-1}{3-1} \right) \times \left( \frac{5^{1+1}-1}{5-1} \right) \)
PTBT \( = \left( \frac{2^3-1}{1} \right) \times \left( \frac{3^2-1}{2} \right) \times \left( \frac{5^2-1}{4} \right) \)
PTBT \( = \left( \frac{8-1}{1} \right) \times \left( \frac{9-1}{2} \right) \times \left( \frac{25-1}{4} \right) \)
PTBT \( = \left( \frac{7}{1} \right) \times \left( \frac{8}{2} \right) \times \left( \frac{24}{4} \right) \)
PTBT \( = 7 \times 4 \times 6 \)
PTBT \( = 28 \times 6 \)
PTBT \( = 168 \)

Demek ki 60 sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamı 168'dir.

Ek Örnekler ve Problemler 💡

Örnek 5: \( A = 2^3 \times 3^x \times 5^1 \) sayısının 24 tane pozitif tam böleni olduğuna göre, \(x\) kaçtır?

Pozitif tam bölenlerinin sayısı formülü \( (x_1+1) \times (x_2+1) \times (x_3+1) \) şeklindedir.

Verilen sayı \( A = 2^3 \times 3^x \times 5^1 \).
Üsler \(3\), \(x\), \(1\).

PTBS \( = (3+1) \times (x+1) \times (1+1) = 24 \)
\( 4 \times (x+1) \times 2 = 24 \)
\( 8 \times (x+1) = 24 \)
\( x+1 = \frac{24}{8} \)
\( x+1 = 3 \)
\( x = 2 \)

Buna göre, \(x\) değeri 2'dir.

Örnek 6: 150 sayısının kaç tane asal çarpanı vardır?

150'yi asal çarpanlarına ayıralım:

150'yi 2'ye böleriz, 75.
75'i 3'e böleriz, 25.
25'i 5'e böleriz, 5.
5'i 5'e böleriz, 1.

Yani \(150 = 2^1 \times 3^1 \times 5^2\).

150 sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. Bu durumda 150 sayısının 3 tane asal çarpanı vardır.

Örnek 7: \( 144 = 2^a \times 3^b \) olduğuna göre, \(a+b\) toplamı kaçtır?

144 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

144'ü 2'ye böleriz, 72.
72'yi 2'ye böleriz, 36.
36'yı 2'ye böleriz, 18.
18'i 2'ye böleriz, 9.
9'u 3'e böleriz, 3.
3'ü 3'e böleriz, 1.

Yani \(144 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^4 \times 3^2\).

Buna göre, \(a=4\) ve \(b=2\)'dir.

\(a+b = 4+2 = 6\).