💡 10. Sınıf Matematik: Aralarında Asallık Çözümlü Örnekler

İki sayının aralarında asal olması için bu iki sayının 1'den başka ortak pozitif tam böleni olmaması gerekir.

• İlk olarak 12'nin pozitif tam bölenlerini bulalım: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
• Ardından 17'nin pozitif tam bölenlerini bulalım: 1, 17.
• Bu iki sayının ortak bölenlerine baktığımızda sadece 1'in ortak olduğunu görüyoruz.

Bu nedenle, 12 ve 17 sayıları aralarında asaldır. ✅

İki sayının aralarında asal olup olmadığını anlamak için ortak bölenlerini incelemeliyiz.

• 25'in pozitif tam bölenleri: 1, 5, 25.
• 35'in pozitif tam bölenleri: 1, 5, 7, 35.
• Ortak bölenler: 1 ve 5.

Bu iki sayının 1'den başka ortak böleni (5) olduğu için 25 ve 35 sayıları aralarında asal değildir. ❌

Verilen kesri en sade hale getirerek \( a \) ve \( b \) için aralarında asal olabilecek değerleri bulabiliriz.

• Verilen kesir: \( \frac{a}{b} = \frac{18}{24} \).
• Kesri sadeleştirelim. 18 ve 24'ün en büyük ortak böleni 6'dır.
• \( \frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4} \).
• Bu durumda, \( a \) ve \( b \) sayılarının aralarında asal olması için \( a=3 \) ve \( b=4 \) seçilebilir.
• \( a=3 \) ve \( b=4 \) sayıları aralarında asaldır çünkü en büyük ortak bölenleri 1'dir.
• \( a+b \) toplamı: \( 3 + 4 = 7 \).

Yani, \( a \) ve \( b \) sayılarının aralarında asal olması için \( a+b \) toplamı 7 olmalıdır. 👉

Öncelikle verilen kesri sadeleştirmeli ve aralarında asal olma koşulunu kullanmalıyız.

• Verilen kesir: \( \frac{x-2}{y+3} = \frac{15}{21} \).
• Kesri sadeleştirelim. 15 ve 21'in en büyük ortak böleni 3'tür.
• \( \frac{15 \div 3}{21 \div 3} = \frac{5}{7} \).
• \( (x-2) \) ve \( (y+3) \) sayıları aralarında asal olduğu için, \( x-2 = 5 \) ve \( y+3 = 7 \) olmalıdır.
• \( x-2 = 5 \) ise \( x = 5+2 = 7 \).
• \( y+3 = 7 \) ise \( y = 7-3 = 4 \).
• Şimdi \( x+y \) toplamını hesaplayalım: \( 7 + 4 = 11 \).

Bu durumda, \( x+y \) toplamı 11'dir. 💡

Soruda verilen bilgileri adım adım inceleyelim.

• Öğrenci sayısı \( N \).
• \( N \), 4'ten büyük ve 10'dan küçük iki ardışık sayının çarpımına eşit. Bu sayılar 5, 6, 7, 8, 9 olabilir.
• Ardışık sayılar: (5, 6), (6, 7), (7, 8), (8, 9).
• Bu çarpımları hesaplayalım:
  • \( 5 \times 6 = 30 \)
  • \( 6 \times 7 = 42 \)
  • \( 7 \times 8 = 56 \)
  • \( 8 \times 9 = 72 \)
• \( N \) bu sayılardan biri olabilir: 30, 42, 56, 72.
• İkinci koşul: \( N \) ile 30 sayısı aralarında asal olmalıdır.
• Şimdi aday \( N \) değerlerini 30 ile aralarında asal olup olmadığını kontrol edelim:
  • 30 ve 30: Aralarında asal değil (ortak bölenleri 30).
  • 42 ve 30: Aralarında asal değil (ortak bölenleri 6).
  • 56 ve 30: Aralarında asal değil (ortak bölenleri 2).
  • 72 ve 30: Aralarında asal değil (ortak bölenleri 6).

Burada bir hata olduğunu fark ettim. Soruyu tekrar gözden geçirelim. "4'ten büyük ve 10'dan küçük" ifadesi, sayılar 5, 6, 7, 8, 9'u kapsar. Ardışık sayılar dediği için (5,6), (6,7), (7,8), (8,9) olmalı. Tekrar kontrol edelim:

• \( 5 \times 6 = 30 \). 30 ve 30 aralarında asal değil.
• \( 6 \times 7 = 42 \). 42 ve 30 aralarında asal değil (EBOB(42,30) = 6).
• \( 7 \times 8 = 56 \). 56 ve 30 aralarında asal değil (EBOB(56,30) = 2).
• \( 8 \times 9 = 72 \). 72 ve 30 aralarında asal değil (EBOB(72,30) = 6).

Soruda bir tutarsızlık olabilir. Eğer "4'ten büyük ve 10'dan küçük" yerine farklı bir aralık kastedildiyse veya "ardışık sayılar" yerine "farklı sayılar" kastedildiyse sonuç değişebilir. Ancak, verilen şartlara göre, bu koşulları sağlayan bir öğrenci sayısı bulunamamaktadır. 😔

Manavın elindeki elma sayısı \( E \) ve bu sayının 20 ile aralarında asal olması gerekiyor.

• 20'nin pozitif tam bölenleri: 1, 2, 4, 5, 10, 20.
• \( E \) sayısı bu bölenlerden hiçbiriyle (1 hariç) bölünmemelidir.
• \( E \) sayısı 20 ile aralarında asal olmalı.
• En küçük \( E \) değerini bulmak için 20'den büyük ve 20 ile aralarında asal olan ilk sayıyı arayalım.
• 21: 20 ile aralarında asal değil (ortak bölen 1). EBOB(21, 20) = 1. Bu bir olasılık.
• 22: 20 ile aralarında asal değil (ortak bölen 2).
• 23: 20 ile aralarında asal. EBOB(23, 20) = 1. Bu da bir olasılık.
• 24: 20 ile aralarında asal değil (ortak bölen 4).
• 25: 20 ile aralarında asal değil (ortak bölen 5).
• 26: 20 ile aralarında asal değil (ortak bölen 2).
• 27: 20 ile aralarında asal. EBOB(27, 20) = 1. Bu da bir olasılık.
• 28: 20 ile aralarında asal değil (ortak bölen 4).
• 29: 20 ile aralarında asal. EBOB(29, 20) = 1. Bu da bir olasılık.
• 30: 20 ile aralarında asal değil (ortak bölen 10).
• 31: 20 ile aralarında asal. EBOB(31, 20) = 1. Bu da bir olasılık.

Soruda "elinde elmaların tanesini 4 TL'den satarsa elde edeceği toplam gelirin, tanesini 6 TL'den satarsa elde edeceği toplam gelirden daha az olacağını biliyor" ifadesi, \( 4 \times E < 6 \times E \) anlamına gelir ki bu her zaman \( E > 0 \) için doğrudur. Bu bilgi, \( E \) sayısının değerini belirlemede ek bir kısıtlama getirmez. Bu nedenle, manavın elindeki elma sayısı \( E \) en az 21 olabilir. Çünkü 21, 20'den büyük ilk sayıdır ve 20 ile aralarında asaldır. ✅

Kesri sadeleştirerek \( 3x-1 \) ve \( 2y+1 \) değerlerini bulmalıyız.

• Verilen kesir: \( \frac{3x-1}{2y+1} = \frac{27}{35} \).
• 27 ve 35 sayılarının en büyük ortak böleni 1'dir. Yani, bu kesir zaten en sade halindedir.
• \( (3x-1) \) ve \( (2y+1) \) sayıları aralarında asal olduğu için, doğrudan eşitleme yapabiliriz:
  • \( 3x-1 = 27 \)
  • \( 2y+1 = 35 \)
• İlk denklemden \( x \) değerini bulalım:
  • \( 3x = 27 + 1 \)
  • \( 3x = 28 \)
  • \( x = \frac{28}{3} \)
• İkinci denklemden \( y \) değerini bulalım:
  • \( 2y = 35 - 1 \)
  • \( 2y = 34 \)
  • \( y = \frac{34}{2} = 17 \)

Ancak soruda \( x \) ve \( y \) 'nin pozitif tam sayılar olduğu belirtilmişti. \( x = \frac{28}{3} \) bir tam sayı değildir. Bu durumda, soruda verilen kesrin sadeleşmiş hali \( \frac{27}{35} \) olmamalıdır. Kesrin sadeleşmiş hali, \( 3x-1 \) ve \( 2y+1 \) değerlerinin aralarında asal olmasını sağlamalıdır. Verilen kesir \( \frac{27}{35} \) en sade halindedir. Bu durumda \( 3x-1 = 27 \) ve \( 2y+1 = 35 \) olmalıdır. Ancak \( x \) tam sayı çıkmadığı için, bu kesir \( 3x-1 \) ve \( 2y+1 \) sayılarına karşılık gelmez. Soruda bir hata olabilir veya \( 3x-1 \) ve \( 2y+1 \) sayıları, \( \frac{27}{35} \) kesrinin sadeleşmiş halini temsil etmiyordur. Eğer \( 3x-1 \) ve \( 2y+1 \) sayıları aralarında asal ise ve \( \frac{3x-1}{2y+1} = \frac{27}{35} \) ise, bu \( 3x-1 \) ve \( 2y+1 \) değerlerinin 27 ve 35'in katları olması gerektiğini gösterir. Ancak aralarında asal oldukları için, bu katların 1 olması gerekir. Bu nedenle, \( 3x-1 = 27 \) ve \( 2y+1 = 35 \) olmalıdır. \( x \) tam sayı çıkmadığı için bu problem çözülemez. 😔

Sorudaki bilgileri analiz edelim ve adım adım çözelim.

• \( AB \) iki basamaklı bir doğal sayı. Bu sayıyı \( 10A + B \) şeklinde ifade edebiliriz, burada \( A \) onlar basamağı ve \( B \) birler basamağıdır. \( A \in \{1, 2, ..., 9\} \) ve \( B \in \{0, 1, ..., 9\} \).
• \( AB \) sayısı ile 18 sayısı aralarında asaldır.
• \( AB \) sayısı, rakamları toplamının 5 katına eşittir. Yani, \( 10A + B = 5 \times (A+B) \).

Önce ikinci koşulu kullanarak \( AB \) sayısını bulalım:

• \( 10A + B = 5A + 5B \)
• \( 10A - 5A = 5B - B \)
• \( 5A = 4B \)

Bu eşitliği sağlayan \( A \) ve \( B \) değerlerini bulmalıyız. \( A \) ve \( B \) rakam olmalı.

• \( A = 4 \) iken, \( 5 \times 4 = 20 \). \( 4B = 20 \) ise \( B = 5 \).
• \( A = 4 \) ve \( B = 5 \) rakamlardır.
• Bu durumda \( AB \) sayısı \( 45 \) olur.

Şimdi ilk koşulu kontrol edelim: \( AB \) sayısı (yani 45) ile 18 sayısı aralarında asal mı?

• 45'in bölenleri: 1, 3, 5, 9, 15, 45.
• 18'in bölenleri: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
• Ortak bölenler: 1, 3, 9.

45 ve 18 sayısı aralarında asal değildir çünkü 3 ve 9 gibi ortak bölenleri vardır. ❌ Bu durumda, \( 5A = 4B \) eşitliğini sağlayan başka rakamlar var mı diye bakalım. \( A \) ve \( B \) pozitif tam sayı olmalı. \( A \) 4'ün katı, \( B \) 5'in katı olmalı.

• Eğer \( A=8 \) alırsak, \( 5 \times 8 = 40 \). \( 4B = 40 \) ise \( B = 10 \). \( B \) rakam olamayacağı için bu durum geçerli değil.

Bu problemde de bir tutarsızlık var gibi görünüyor. Eğer \( AB \) sayısı, rakamları toplamının 5 katına eşitse \( AB = 45 \) olmak zorundadır. Ancak 45 ve 18 aralarında asal değildir. Sorunun orijinalinde bir hata olabilir. Eğer \( AB \) sayısı ile 18 aralarında asal olması koşulu olmasaydı, cevap 45 olurdu. 😔

İki sayının aralarında asal olması için en büyük ortak bölenlerinin (EBOB) 1 olması gerekir.

• 7'nin pozitif tam bölenleri: 1, 7.
• 11'in pozitif tam bölenleri: 1, 11.
• 7 ve 11 sayılarının ortak pozitif tam böleni sadece 1'dir.

Bu nedenle, EBOB(7, 11) = 1'dir. Dolayısıyla, 7 ve 11 sayıları aralarında asaldır. ✅

Verilen kesri en sade hale getirerek \( x+y \) ve \( x-y \) değerlerini bulalım.

• Verilen kesir: \( \frac{x+y}{x-y} = \frac{7}{3} \).
• 7 ve 3 aralarında asal sayılardır, yani kesir en sade halindedir.
• \( (x+y) \) ve \( (x-y) \) aralarında asal olduğu için, doğrudan eşitleme yapabiliriz:
  • \( x+y = 7 \)
  • \( x-y = 3 \)
• Bu iki denklemi taraf tarafa toplayarak \( x \) değerini bulalım:
  • \( (x+y) + (x-y) = 7 + 3 \)
  • \( 2x = 10 \)
  • \( x = 5 \)
• Bulduğumuz \( x \) değerini ilk denklemde yerine koyarak \( y \) değerini bulalım:
  • \( 5 + y = 7 \)
  • \( y = 7 - 5 \)
  • \( y = 2 \)
• \( x=5 \) ve \( y=2 \) pozitif tam sayılardır.
• Şimdi \( x \) ve \( y \) sayılarının toplamını hesaplayalım: \( x+y = 5+2 = 7 \).

Bu durumda, \( x \) ve \( y \) sayılarının toplamı 7'dir. 👉