Aralarında Asallık Ders Notu

Aralarında Asallık 🔢

10. sınıf matematik müfredatında yer alan aralarında asallık konusu, iki veya daha fazla sayının 1'den başka ortak böleninin bulunmaması durumunu inceler. Bu kavram, sayı teorisinin temel taşlarından biridir ve birçok matematiksel problemde karşımıza çıkar.

Aralarında Asallık Nedir? 🤔

İki pozitif tam sayının en büyük ortak böleni (EBOB) 1 ise, bu sayılara "aralarında asal sayılar" denir. Başka bir deyişle, bu iki sayıyı aynı anda bölen 1'den başka bir pozitif tam sayı yoktur.

• EBOB(a, b) = 1 ise, a ve b aralarında asaldır.

Örnek olarak, 8 ve 15 sayılarını ele alalım:

• 8'in bölenleri: 1, 2, 4, 8
• 15'in bölenleri: 1, 3, 5, 15

Bu iki sayının ortak bölenleri sadece 1'dir. Dolayısıyla, 8 ve 15 aralarında asaldır. EBOB(8, 15) = 1.

Ancak, 6 ve 9 sayılarına bakarsak:

• 6'nın bölenleri: 1, 2, 3, 6
• 9'un bölenleri: 1, 3, 9

Bu iki sayının ortak bölenleri 1 ve 3'tür. En büyük ortak bölenleri 3'tür. EBOB(6, 9) = 3 ≠ 1. Bu nedenle, 6 ve 9 aralarında asal değildir.

Aralarında Asallıkla İlgili Özellikler ve Kurallar 💡

Aralarında asallıkla ilgili bazı önemli özellikler ve kurallar şunlardır:

1. 1 ile Bütün Pozitif Tam Sayılar Arasında Asaldır: Herhangi bir pozitif tam sayı ile 1'in EBOB'u her zaman 1'dir.
   • EBOB(n, 1) = 1 (Her n ∈ ℤ⁺ için)
   Örnek: EBOB(12, 1) = 1. Bu nedenle 12 ve 1 aralarında asaldır.
2. Ardışık İki Pozitif Tam Sayı Arasında Asaldır: Ardışık iki pozitif tam sayının EBOB'u her zaman 1'dir.
   • EBOB(n, n+1) = 1 (Her n ∈ ℤ⁺ için)
   Örnek: EBOB(17, 18) = 1. Bu nedenle 17 ve 18 aralarında asaldır. Günlük hayatta da bu durumu gözlemleyebiliriz; örneğin, bir yıl sonraki yıl ile bu yıl arasında asal olurlar.
3. İki Farklı Asal Sayı Arasında Asaldır: İki farklı asal sayının 1'den başka ortak böleni olamaz. Örnek: 7 ve 11 asal sayılardır. 7'nin bölenleri 1, 7; 11'in bölenleri 1, 11'dir. EBOB(7, 11) = 1.
4. Bir Sayı ile Kendisinin Katı Olan Sayı Arasında Asal Değildir: Bir sayının kendisi ile katı olan bir sayının EBOB'u, o sayının kendisidir. Örnek: EBOB(5, 20) = 5. 5 ve 20 aralarında asal değildir.
5. Bir Sayı ile Kendisinden Farklı Bir Asal Çarpanı Olan Sayı Arasında Asal Olup Olmadığına Bakılır: Örneğin, 10 ve 15 sayıları aralarında asal değildir çünkü her ikisi de 5'e bölünür. EBOB(10, 15) = 5.
6. İki Sayının Aralarında Asal Olması, Bu Sayıların Teker Teker Asal Olmasını Gerektirmez: Örnek: 9 ve 10 sayıları aralarında asaldır (EBOB(9, 10) = 1). Ancak 9 asal bir sayı değildir (9 = 3²).

Aralarında Asallık ile İlgili Çözümlü Örnekler 📝

Örnek 1:

Aşağıdaki sayı çiftlerinden hangileri aralarında asaldır?

a) 12 ve 25

b) 14 ve 21

c) 17 ve 34

Çözüm:

a) 12'nin bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 12. 25'in bölenleri: 1, 5, 25. Ortak bölenleri sadece 1'dir. EBOB(12, 25) = 1. Bu nedenle 12 ve 25 aralarında asaldır. ✅

b) 14'ün bölenleri: 1, 2, 7, 14. 21'in bölenleri: 1, 3, 7, 21. Ortak bölenleri 1 ve 7'dir. EBOB(14, 21) = 7. Bu nedenle 14 ve 21 aralarında asal değildir. ❌

c) 17 asal bir sayıdır. 34 = 2 * 17'dir. 17 ve 34'ün ortak böleni 17'dir. EBOB(17, 34) = 17. Bu nedenle 17 ve 34 aralarında asal değildir. ❌

Örnek 2:

x bir pozitif tam sayıdır. EBOB(x, 15) = 1 olduğuna göre, x'in alabileceği değerler hakkında ne söylenebilir?

Çözüm:

EBOB(x, 15) = 1 olması, x ile 15'in aralarında asal olduğu anlamına gelir. 15'in asal çarpanları 3 ve 5'tir (15 = 3 * 5). Bu durumda, x sayısı 3'e veya 5'e bölünmemelidir. Yani, x'in 3'ün katı veya 5'in katı olmaması gerekir.

Örnek olarak, x = 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14, 16, 17, ... gibi değerler alabilir.

Örnek 3:

Aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman doğrudur?

A) Ardışık iki çift sayı aralarında asaldır.

B) Ardışık iki tek sayı aralarında asaldır.

C) Bir asal sayı ile kendisinin iki katı olan sayı aralarında asaldır.

Çözüm:

A) Ardışık iki çift sayı örneği: 4 ve 6. EBOB(4, 6) = 2. Bu sayılar aralarında asal değildir. Bu ifade her zaman doğru değildir. ❌

B) Ardışık iki tek sayı örneği: 7 ve 9. EBOB(7, 9) = 1. Bu sayılar aralarında asaldır. Ardışık iki tek sayının ortak böleni olamaz (çünkü tek sayılar sadece tek bölenlere sahiptir ve ardışık iki tek sayının 1'den başka ortak tek böleni yoktur). Bu ifade her zaman doğrudur. ✅

C) Bir asal sayı ile kendisinin iki katı olan sayı örneği: 5 (asal) ve 10 (5'in iki katı). EBOB(5, 10) = 5. Bu sayılar aralarında asal değildir. Bu ifade her zaman doğru değildir. ❌

Bu konu, EBOB ve EKOK (En Küçük Ortak Kat) hesaplamalarında ve çeşitli sayısal problemlerin çözümünde temel bir rol oynar.