🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Analitik İnceleme Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Analitik İnceleme Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Analitik düzlemde verilen \( A(-3, 4) \) ve \( B(2, -8) \) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir? 📏
Bu iki nokta arasındaki mesafeyi bulmak için hangi formülü kullanmamız gerektiğini hatırlayalım.
Bu iki nokta arasındaki mesafeyi bulmak için hangi formülü kullanmamız gerektiğini hatırlayalım.
Çözüm:
👉 İki nokta arasındaki uzaklık formülü \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \) şeklindedir.
- 📌 Adım 1: Noktaları belirleyelim. \( A(x_1, y_1) = (-3, 4) \) ve \( B(x_2, y_2) = (2, -8) \).
- 📌 Adım 2: Formülde yerine koyalım. \[ d = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (-8 - 4)^2} \] \[ d = \sqrt{(2 + 3)^2 + (-12)^2} \] \[ d = \sqrt{(5)^2 + (-12)^2} \] \[ d = \sqrt{25 + 144} \] \[ d = \sqrt{169} \] \[ d = 13 \]
Örnek 2:
Analitik düzlemde uç noktaları \( P(5, -2) \) ve \( R(-1, 10) \) olan \( [PR] \) doğru parçasının orta noktasının koordinatlarını bulunuz. 🤔
Çözüm:
👉 Bir doğru parçasının orta noktasının koordinatları \( M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \) formülüyle bulunur.
- 📌 Adım 1: Noktaların koordinatlarını belirleyelim. \( P(x_1, y_1) = (5, -2) \) ve \( R(x_2, y_2) = (-1, 10) \).
- 📌 Adım 2: Orta nokta formülünde yerine koyalım. x koordinatı: \( \frac{5 + (-1)}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
y koordinatı: \( \frac{-2 + 10}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)
Örnek 3:
Analitik düzlemde \( A(1, 3) \) ve \( B(7, 15) \) noktaları veriliyor. \( [AB] \) doğru parçasını \( \frac{|AC|}{|CB|} = \frac{1}{2} \) oranında içten bölen \( C \) noktasının koordinatlarını bulunuz. 🧐
Çözüm:
👉 Bir doğru parçasını belirli bir oranda içten bölen noktanın koordinatlarını, x ve y koordinatlarındaki değişimi oranlayarak bulabiliriz.
- 📌 Adım 1: Noktaların koordinatlarını ve oranı belirleyelim. \( A(x_1, y_1) = (1, 3) \), \( B(x_2, y_2) = (7, 15) \). Oran \( \frac{|AC|}{|CB|} = \frac{1}{2} \).
- 📌 Adım 2: x koordinatındaki değişimi bulalım. \( A \) noktasından \( B \) noktasına x koordinatı \( 7 - 1 = 6 \) birim artmıştır.
- 📌 Adım 3: y koordinatındaki değişimi bulalım. \( A \) noktasından \( B \) noktasına y koordinatı \( 15 - 3 = 12 \) birim artmıştır.
Bu oran, \( C \) noktasının \( A \) ile \( B \) arasında olduğunu ve \( A \) noktasına daha yakın olduğunu gösterir. \( AC \) uzunluğu 1 birim, \( CB \) uzunluğu 2 birim gibi düşünülebilir. Toplam uzunluk \( 1+2=3 \) birimdir.
Bu 6 birimlik artış, tüm \( AB \) doğru parçasının uzunluğuna (3 birime) karşılık gelir.
\( AC \) mesafesi 1 birim olduğundan, \( C \) noktasının x koordinatındaki artış \( \frac{6}{3} \times 1 = 2 \) birim olacaktır.
\( C \) noktasının x koordinatı \( 1 + 2 = 3 \) olur.
Bu 12 birimlik artış da tüm \( AB \) doğru parçasının uzunluğuna (3 birime) karşılık gelir.
\( AC \) mesafesi 1 birim olduğundan, \( C \) noktasının y koordinatındaki artış \( \frac{12}{3} \times 1 = 4 \) birim olacaktır.
\( C \) noktasının y koordinatı \( 3 + 4 = 7 \) olur.
Örnek 4:
Köşe koordinatları \( K(2, 5) \), \( L(-4, 1) \) ve \( M(6, 3) \) olan bir \( KLM \) üçgeninin ağırlık merkezinin koordinatlarını bulunuz. ⚖️
Çözüm:
👉 Bir üçgenin ağırlık merkezinin (G) koordinatları, köşe koordinatlarının aritmetik ortalaması alınarak bulunur. Formül: \( G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right) \).
- 📌 Adım 1: Köşe koordinatlarını belirleyelim. \( K(x_1, y_1) = (2, 5) \)
- 📌 Adım 2: Ağırlık merkezi formülünde yerine koyalım. x koordinatı: \( \frac{2 + (-4) + 6}{3} = \frac{2 - 4 + 6}{3} = \frac{4}{3} \)
\( L(x_2, y_2) = (-4, 1) \)
\( M(x_3, y_3) = (6, 3) \)
y koordinatı: \( \frac{5 + 1 + 3}{3} = \frac{9}{3} = 3 \)
Örnek 5:
Analitik düzlemde, eğimi \( m = -2 \) olan ve \( A(3, -1) \) noktasından geçen doğrunun denklemini bulunuz. ✍️
Çözüm:
👉 Eğimi \( m \) ve bir noktası \( (x_1, y_1) \) bilinen doğrunun denklemi \( y - y_1 = m(x - x_1) \) formülüyle bulunur.
- 📌 Adım 1: Verilenleri belirleyelim. Eğim \( m = -2 \)
- 📌 Adım 2: Doğru denklemi formülünde yerine koyalım. \[ y - (-1) = -2(x - 3) \] \[ y + 1 = -2x + 6 \] Şimdi denklemi genel formda yazalım \( (Ax + By + C = 0) \).
Nokta \( (x_1, y_1) = (3, -1) \)
\[ 2x + y + 1 - 6 = 0 \] \[ 2x + y - 5 = 0 \]
Örnek 6:
Analitik düzlemde \( P(-2, 5) \) ve \( R(4, 2) \) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulunuz. 🛣️
Çözüm:
👉 İki noktası bilinen doğrunun denklemini bulmak için önce doğrunun eğimini bulmalı, sonra eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi formülünü kullanmalıyız.
- 📌 Adım 1: Doğrunun eğimini hesaplayalım. Eğim formülü \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \).
- 📌 Adım 2: Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi formülünü kullanalım. \( P(-2, 5) \) noktasını ve eğimi \( m = -\frac{1}{2} \) kullanalım: \( y - y_1 = m(x - x_1) \).
\( P(x_1, y_1) = (-2, 5) \) ve \( R(x_2, y_2) = (4, 2) \).
\[ m = \frac{2 - 5}{4 - (-2)} = \frac{-3}{4 + 2} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2} \] Doğrunun eğimi \( m = -\frac{1}{2} \).
\[ y - 5 = -\frac{1}{2}(x - (-2)) \] \[ y - 5 = -\frac{1}{2}(x + 2) \] Her iki tarafı 2 ile çarpalım:
\[ 2(y - 5) = -1(x + 2) \] \[ 2y - 10 = -x - 2 \] Denklemi genel formda yazalım \( (Ax + By + C = 0) \).
\[ x + 2y - 10 + 2 = 0 \] \[ x + 2y - 8 = 0 \]
Örnek 7:
Analitik düzlemde \( d_1: 3x - 2y + 7 = 0 \) doğrusuna paralel olan ve \( K(1, -4) \) noktasından geçen doğrunun denklemini bulunuz. ↔️
Çözüm:
👉 İki doğru birbirine paralel ise, eğimleri birbirine eşittir. Önce verilen doğrunun eğimini bulalım, sonra bu eğimi ve \( K \) noktasını kullanarak yeni doğrunun denklemini yazalım.
- 📌 Adım 1: Verilen \( d_1 \) doğrusunun eğimini bulalım. Genel doğru denklemi \( Ax + By + C = 0 \) şeklindeyse, eğim \( m = -\frac{A}{B} \) formülüyle bulunur.
- 📌 Adım 2: Eğimi \( m_2 = \frac{3}{2} \) olan ve \( K(1, -4) \) noktasından geçen doğrunun denklemini yazalım. Formül: \( y - y_1 = m(x - x_1) \).
\( d_1: 3x - 2y + 7 = 0 \) için \( A = 3 \) ve \( B = -2 \).
\[ m_1 = -\frac{3}{-2} = \frac{3}{2} \] Paralel doğruların eğimleri eşit olduğundan, aradığımız \( d_2 \) doğrusunun eğimi de \( m_2 = \frac{3}{2} \) olacaktır.
\[ y - (-4) = \frac{3}{2}(x - 1) \] \[ y + 4 = \frac{3}{2}(x - 1) \] Her iki tarafı 2 ile çarpalım:
\[ 2(y + 4) = 3(x - 1) \] \[ 2y + 8 = 3x - 3 \] Denklemi genel formda düzenleyelim:
\[ 3x - 2y - 3 - 8 = 0 \] \[ 3x - 2y - 11 = 0 \]
Örnek 8:
Bir mühendis, düz bir yokuşun eğimini hesaplamak istiyor. Yokuşun başlangıç noktası analitik düzlemde \( A(10, 20) \) olarak, bitiş noktası ise \( B(160, 170) \) olarak modellenmiştir. Bu yokuşun eğimi yüzde kaç olacaktır? (Eğim, dikey değişimin yatay değişime oranıdır ve yüzde olarak ifade edilir.) ⛰️
Not: Bu bir "yeni nesil" soru olup, bilgiyi günlük hayatta uygulama becerisini ölçer.
Not: Bu bir "yeni nesil" soru olup, bilgiyi günlük hayatta uygulama becerisini ölçer.
Çözüm:
👉 Bir doğrunun eğimi, dikey değişimin yatay değişime oranıdır: \( m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \). Yüzde eğim ise bu oranın 100 ile çarpılmasıyla bulunur.
- 📌 Adım 1: Noktaların koordinatlarını belirleyelim. Başlangıç noktası \( A(x_1, y_1) = (10, 20) \)
- 📌 Adım 2: Dikey değişimi (\( \Delta y \)) ve yatay değişimi (\( \Delta x \)) hesaplayalım. Dikey değişim \( \Delta y = y_2 - y_1 = 170 - 20 = 150 \) birim.
- 📌 Adım 3: Yokuşun eğimini (m) bulalım. \[ m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{150}{150} = 1 \] Yokuşun eğimi \( 1 \) olarak bulunur.
- 📌 Adım 4: Eğim oranını yüzdeye çevirelim. Yüzde eğim = Eğim \( \times 100% \)
Bitiş noktası \( B(x_2, y_2) = (160, 170) \)
Yatay değişim \( \Delta x = x_2 - x_1 = 160 - 10 = 150 \) birim.
Yüzde eğim = \( 1 \times 100% = 100% \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-analitik-inceleme/sorular