Analitik İnceleme Ders Notu

Analitik geometri, geometrik şekilleri ve problemleri koordinat sistemi kullanarak cebirsel yöntemlerle inceleyen matematik dalıdır. Bu ders notunda, 10. sınıf MEB müfredatına uygun olarak noktaların ve doğruların analitik incelenmesi konularını ele alacağız.

Koordinat Sistemi ve Noktanın Analitik İncelenmesi 📌

Düzlemde bir noktanın konumunu belirtmek için kullanılan sisteme dik koordinat sistemi denir. Bu sistemde, yatay eksene x-ekseni (apsisler ekseni), dikey eksene y-ekseni (ordinatlar ekseni) adı verilir. Bir nokta \( P \) genellikle \( P(x, y) \) şeklinde gösterilir; burada \( x \) noktanın apsisini, \( y \) ise ordinatını temsil eder.

1. İki Nokta Arasındaki Uzaklık

Koordinat düzleminde verilen \( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) noktaları arasındaki uzaklık \( |AB| \) aşağıdaki formülle bulunur:

\[ |AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Örnek: \( A(2, 5) \) ve \( B(6, 8) \) noktaları arasındaki uzaklığı bulalım. \[ |AB| = \sqrt{(6 - 2)^2 + (8 - 5)^2} \] \[ |AB| = \sqrt{4^2 + 3^2} \] \[ |AB| = \sqrt{16 + 9} \] \[ |AB| = \sqrt{25} = 5 \]

2. Bir Doğru Parçasının Orta Noktası

\( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) noktalarının orta noktası \( C(x_o, y_o) \) ise, C noktasının koordinatları aşağıdaki gibi bulunur:

\[ x_o = \frac{x_1 + x_2}{2} \] \[ y_o = \frac{y_1 + y_2}{2} \]

Yani, \( C \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \).

Örnek: \( A(-3, 7) \) ve \( B(5, 1) \) noktalarının orta noktasını bulalım. \[ x_o = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] \[ y_o = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]

Orta nokta \( C(1, 4) \) olur.

3. Bir Doğru Parçasını Belirli Oranda Bölen Nokta

\( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) noktaları verilsin. Bir \( C(x, y) \) noktası, [AB] doğru parçasını \( \frac{|AC|}{|CB|} = k \) oranında içten bölüyorsa, C noktasının koordinatları orantılı değişimle bulunur.

• Apsisteki değişim: \( x_2 - x_1 \)
• Ordinattaki değişim: \( y_2 - y_1 \)

Bu değişimler, orana göre C noktasının koordinatlarını bulmak için kullanılır.

Örnek: \( A(1, 2) \) ve \( B(7, 8) \) noktaları veriliyor. C noktası [AB] doğru parçasını \( \frac{|AC|}{|CB|} = 2 \) oranında içten bölen nokta ise C noktasının koordinatlarını bulalım.

Burada \( |AC| = 2|CB| \) demektir. Yani AB doğru parçası 3 eşit parçaya ayrılmış gibi düşünülebilir (AC 2 birim, CB 1 birim).

Apsis için: \( x_B - x_A = 7 - 1 = 6 \) birim. Bu 6 birimlik değişim 3 parçaya karşılık geliyorsa, 1 parçaya \( \frac{6}{3} = 2 \) birim düşer.

C noktasının apsisi \( x_A \) 'dan 2 parça ileride olacaktır: \( x_C = x_A + 2 \times 2 = 1 + 4 = 5 \).

Ordinat için: \( y_B - y_A = 8 - 2 = 6 \) birim. Bu 6 birimlik değişim 3 parçaya karşılık geliyorsa, 1 parçaya \( \frac{6}{3} = 2 \) birim düşer.

C noktasının ordinatı \( y_A \) 'dan 2 parça ileride olacaktır: \( y_C = y_A + 2 \times 2 = 2 + 4 = 6 \).

Böylece C noktasının koordinatları \( C(5, 6) \) olur.

4. Üçgenin Ağırlık Merkezi

Köşe koordinatları \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \) ve \( C(x_3, y_3) \) olan bir üçgenin ağırlık merkezi \( G(x_g, y_g) \) aşağıdaki formülle bulunur:

\[ x_g = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3} \] \[ y_g = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \]

Yani, \( G \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right) \).

Örnek: Köşeleri \( A(1, 4) \), \( B(3, 1) \) ve \( C(5, 7) \) olan üçgenin ağırlık merkezini bulalım. \[ x_g = \frac{1 + 3 + 5}{3} = \frac{9}{3} = 3 \] \[ y_g = \frac{4 + 1 + 7}{3} = \frac{12}{3} = 4 \]

Ağırlık merkezi \( G(3, 4) \) olur.

Doğrunun Analitik İncelenmesi 📏

Koordinat düzleminde bir doğrunun konumunu ve özelliklerini incelemek için denklemlerinden faydalanırız.

1. Doğrunun Eğimi

Bir doğrunun x-ekseni ile pozitif yönde yaptığı açıya eğim açısı denir. Bu açının tanjantına ise eğim adı verilir ve \( m \) ile gösterilir.

• Eğim açısı \( \alpha \) ise, eğim \( m = \tan \alpha \).
• Eğim açısı \( 0^\circ \) ise (x-eksenine paralel), \( m = \tan 0^\circ = 0 \).
• Eğim açısı \( 90^\circ \) ise (y-eksenine paralel), eğim tanımsızdır.
• Eğim açısı dar açı ise (\( 0^\circ < \alpha < 90^\circ \)), eğim pozitiftir (\( m > 0 \)).
• Eğim açısı geniş açı ise (\( 90^\circ < \alpha < 180^\circ \)), eğim negatiftir (\( m < 0 \)).

İki noktası bilinen doğrunun eğimi: \( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) noktalarından geçen doğrunun eğimi:

\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \quad (x_1 \neq x_2) \]

Örnek: \( A(2, 3) \) ve \( B(5, 9) \) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulalım. \[ m = \frac{9 - 3}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2 \]

2. Doğru Denklemleri

a. Eğimi ve Bir Noktası Bilinen Doğrunun Denklemi

Eğimi \( m \) olan ve \( A(x_1, y_1) \) noktasından geçen doğrunun denklemi:

\[ y - y_1 = m(x - x_1) \]

Örnek: Eğimi \( m = 3 \) olan ve \( A(1, 2) \) noktasından geçen doğrunun denklemini bulalım. \[ y - 2 = 3(x - 1) \] \[ y - 2 = 3x - 3 \] \[ y = 3x - 1 \]

b. İki Noktası Bilinen Doğrunun Denklemi

\( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) noktalarından geçen doğrunun denklemi, önce eğim bulunarak (a) maddesindeki formül ile veya doğrudan aşağıdaki formülle yazılabilir:

\[ \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} \]

Örnek: \( A(1, 3) \) ve \( B(4, 9) \) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulalım.

Önce eğimi bulalım: \( m = \frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2 \).

Şimdi \( A(1, 3) \) noktasını ve \( m = 2 \) eğimini kullanarak denklem yazalım:

\[ y - 3 = 2(x - 1) \] \[ y - 3 = 2x - 2 \] \[ y = 2x + 1 \]

c. Eksenleri Kestiği Noktaları Bilinen Doğrunun Denklemi

x-eksenini \( (a, 0) \) noktasında ve y-eksenini \( (0, b) \) noktasında kesen doğrunun denklemi:

\[ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \]

Örnek: x-eksenini \( (4, 0) \) noktasında, y-eksenini \( (0, -2) \) noktasında kesen doğrunun denklemini bulalım. \[ \frac{x}{4} + \frac{y}{-2} = 1 \]

Paydaları eşitleyelim (4 ile):

\[ \frac{x}{4} - \frac{2y}{4} = 1 \] \[ x - 2y = 4 \] \[ x - 2y - 4 = 0 \]

d. Genel Doğru Denklemi

Doğru denklemleri genellikle \( Ax + By + C = 0 \) şeklinde ifade edilir. Bu denkleme doğrunun genel denklemi denir.

• Bu denklemden eğim \( m = -\frac{A}{B} \) olarak bulunur (eğer \( B \neq 0 \) ise).

Örnek: \( 3x - 2y + 6 = 0 \) doğrusunun eğimini bulalım. \[ m = -\frac{A}{B} = -\frac{3}{-2} = \frac{3}{2} \]

3. Paralel ve Dik Doğrular

a. Paralel Doğrular

İki doğru birbirine paralelse, eğimleri eşittir.

\( d_1 // d_2 \) ise \( m_1 = m_2 \).

b. Dik Doğrular

İki doğru birbirine dikse, eğimleri çarpımı \( -1 \) 'dir.

\( d_1 \perp d_2 \) ise \( m_1 \cdot m_2 = -1 \).

Bu özellikler aşağıdaki tabloda özetlenmiştir:

Durum	Eğimler Arasındaki İlişki
Paralel Doğrular (\( d_1 // d_2 \))	\( m_1 = m_2 \)
Dik Doğrular (\( d_1 \perp d_2 \))	\( m_1 \cdot m_2 = -1 \)

Örnek 1: \( y = 2x + 5 \) doğrusuna paralel olan ve \( (1, 4) \) noktasından geçen doğrunun denklemini bulalım.

Verilen doğrunun eğimi \( m_1 = 2 \). Paralel olacağı için aradığımız doğrunun eğimi de \( m_2 = 2 \) olmalıdır.

Nokta \( (1, 4) \) ve eğim \( m = 2 \) olan doğru denklemi:

\[ y - 4 = 2(x - 1) \] \[ y - 4 = 2x - 2 \] \[ y = 2x + 2 \] Örnek 2: \( y = -3x + 1 \) doğrusuna dik olan ve \( (3, 0) \) noktasından geçen doğrunun denklemini bulalım.

Verilen doğrunun eğimi \( m_1 = -3 \). Dik olacağı için \( m_1 \cdot m_2 = -1 \) olmalıdır.

\[ -3 \cdot m_2 = -1 \implies m_2 = \frac{1}{3} \]

Nokta \( (3, 0) \) ve eğim \( m = \frac{1}{3} \) olan doğru denklemi:

\[ y - 0 = \frac{1}{3}(x - 3) \] \[ y = \frac{1}{3}x - 1 \]

Veya \( 3y = x - 3 \implies x - 3y - 3 = 0 \).

4. İki Doğrunun Kesim Noktası

İki doğrunun kesim noktasını bulmak için, bu iki doğrunun denklemleri ortak (denklem sistemi) çözülür. Kesim noktası, her iki denklemi de sağlayan \( (x, y) \) koordinat çiftidir.

Örnek: \( d_1: y = 2x + 1 \) ve \( d_2: y = -x + 4 \) doğrularının kesim noktasını bulalım.

Denklemleri birbirine eşitleyerek \( x \) değerini bulalım:

\[ 2x + 1 = -x + 4 \] \[ 2x + x = 4 - 1 \] \[ 3x = 3 \] \[ x = 1 \]

\( x = 1 \) değerini denklemlerden birinde yerine koyarak \( y \) değerini bulalım (örneğin \( d_1 \) denkleminde):

\[ y = 2(1) + 1 \] \[ y = 2 + 1 \] \[ y = 3 \]

Kesim noktası \( (1, 3) \) olur.