🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Analitik inceleme soruları Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Analitik inceleme soruları Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Analitik düzlemde A(2, 3) ve B(6, 7) noktaları veriliyor. Bu iki nokta arasındaki uzaklığı bulunuz. 📏
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için iki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanacağız. İki nokta arasındaki uzaklık formülü şöyledir:
\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
Burada \( (x_1, y_1) \) ve \( (x_2, y_2) \) noktalarımızın koordinatlarıdır.
- Verilen noktalarımız A(2, 3) ve B(6, 7).
- Bu durumda \( x_1 = 2 \), \( y_1 = 3 \), \( x_2 = 6 \) ve \( y_2 = 7 \) olur.
- Formülde yerine koyalım: \( d = \sqrt{(6 - 2)^2 + (7 - 3)^2} \)
- Hesaplamaları yapalım: \( d = \sqrt{(4)^2 + (4)^2} \)
- \( d = \sqrt{16 + 16} \)
- \( d = \sqrt{32} \)
- \( \sqrt{32} \) ifadesini sadeleştirelim: \( \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2} \)
Örnek 2:
Analitik düzlemde C(1, -2) ve D(5, 4) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulunuz. ↗️
Çözüm:
Bir doğrunun eğimini bulmak için eğim formülünü kullanırız. İki noktası bilinen doğrunun eğim formülü şöyledir:
\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]
Burada \( (x_1, y_1) \) ve \( (x_2, y_2) \) doğrunun üzerindeki iki farklı noktanın koordinatlarıdır.
- Verilen noktalarımız C(1, -2) ve D(5, 4).
- Bu durumda \( x_1 = 1 \), \( y_1 = -2 \), \( x_2 = 5 \) ve \( y_2 = 4 \) olur.
- Formülde yerine koyalım: \( m = \frac{4 - (-2)}{5 - 1} \)
- Hesaplamaları yapalım: \( m = \frac{4 + 2}{4} \)
- \( m = \frac{6}{4} \)
- Eğimi sadeleştirelim: \( m = \frac{3}{2} \)
Örnek 3:
Eğim açısı 135 derece olan bir doğrunun eğimini bulunuz. 📐
Çözüm:
Bir doğrunun eğimi ile eğim açısı arasındaki ilişkiyi kullanacağız. Doğrunun eğimi \( m \), eğim açısı \( \alpha \) olmak üzere, eğim açısının tanjantına eşittir:
\[ m = \tan(\alpha) \]
- Soruda verilen eğim açısı \( \alpha = 135^\circ \)
- Eğimi bulmak için \( \tan(135^\circ) \) değerini hesaplamamız gerekir.
- 135 derece, ikinci bölgede yer alır ve tanjant değeri bu bölgede negatiftir.
- \( \tan(135^\circ) = \tan(180^\circ - 45^\circ) \)
- Tanjant fonksiyonunun periyodik özelliğinden ve indirgeme formüllerinden yararlanarak: \( \tan(180^\circ - \alpha) = -\tan(\alpha) \)
- Dolayısıyla, \( \tan(135^\circ) = -\tan(45^\circ) \)
- \( \tan(45^\circ) \) değeri 1'dir.
- Bu durumda, \( m = -1 \)
Örnek 4:
Analitik düzlemde y = 3x + 5 doğrusuna paralel olan ve A(1, 2) noktasından geçen doğrunun denklemini bulunuz. ↔️
Çözüm:
Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir. Bu bilgiyi kullanarak yeni doğrumuzun denklemini bulacağız.
- Verilen doğrunun denklemi \( y = 3x + 5 \). Bu denklem \( y = mx + n \) formundadır.
- Buradan, verilen doğrunun eğimi \( m_1 = 3 \) olur.
- Paralel oldukları için, aradığımız doğrunun eğimi de \( m_2 = m_1 = 3 \) olacaktır.
- Şimdi, eğimi 3 olan ve A(1, 2) noktasından geçen doğrunun denklemini bulmalıyız. Bunun için noktanın eğim formülünü kullanabiliriz: \( y - y_1 = m(x - x_1) \)
- Burada \( m = 3 \) ve \( (x_1, y_1) = (1, 2) \) noktasıdır.
- Formülde yerine koyalım: \( y - 2 = 3(x - 1) \)
- Denklemi düzenleyelim: \( y - 2 = 3x - 3 \)
- \( y = 3x - 3 + 2 \)
- \( y = 3x - 1 \)
Örnek 5:
Analitik düzlemde y = -2x + 7 doğrusuna dik olan ve B(3, -1) noktasından geçen doğrunun denklemini bulunuz. perpendicular
Çözüm:
Dik doğruların eğimleri çarpımı -1'dir. Bu özelliği kullanarak yeni doğrumuzun eğimini bulacağız.
- Verilen doğrunun denklemi \( y = -2x + 7 \). Bu doğrunun eğimi \( m_1 = -2 \) 'dir.
- Aradığımız doğru bu doğruya dik olduğuna göre, eğimleri çarpımı -1 olmalıdır: \( m_1 \times m_2 = -1 \)
- \( -2 \times m_2 = -1 \)
- Buradan \( m_2 = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2} \) bulunur.
- Şimdi, eğimi \( \frac{1}{2} \) olan ve B(3, -1) noktasından geçen doğrunun denklemini noktanın eğim formülüyle bulalım: \( y - y_1 = m(x - x_1) \)
- Burada \( m = \frac{1}{2} \) ve \( (x_1, y_1) = (3, -1) \) noktasıdır.
- Formülde yerine koyalım: \( y - (-1) = \frac{1}{2}(x - 3) \)
- \( y + 1 = \frac{1}{2}(x - 3) \)
- Denklemi düzenleyelim: \( 2(y + 1) = x - 3 \)
- \( 2y + 2 = x - 3 \)
- \( 2y = x - 5 \)
- Veya \( y = \frac{1}{2}x - \frac{5}{2} \)
Örnek 6:
Bir aracın deposunda başlangıçta 50 litre yakıt bulunmaktadır. Her 100 km'de 8 litre yakıt tüketilmektedir. Aracın deposundaki yakıt miktarını (y) kilometre cinsinden (x) gösteren analitik düzlemde bir denklem yazınız ve 300 km yol gidildiğinde depoda kaç litre yakıt kalacağını bulunuz. 🚗💨
Çözüm:
Bu problemde, yakıt miktarının gidilen yola bağlı olarak değiştiği doğrusal bir ilişkiyi modelleyeceğiz.
- Başlangıç yakıt miktarı: 50 litre. Bu, \( y \)-eksenini kestiği noktadır (x=0 iken y=50).
- Her 100 km'de tüketilen yakıt: 8 litre.
- Bu, her 1 km'de tüketilen yakıt miktarını bulmamızı sağlar: \( \frac{8 \text{ litre}}{100 \text{ km}} = 0.08 \text{ litre/km} \).
- Bu değer, doğrunun eğimi olacaktır (giden yol arttıkça yakıt azalır, bu yüzden negatif eğim).
- Doğrunun denklemi \( y = mx + n \) formunda olacaktır.
- Burada \( m = -0.08 \) (tüketim) ve \( n = 50 \) (başlangıç miktarı).
- Denklemimiz: \( y = -0.08x + 50 \)
- Şimdi, 300 km yol gidildiğinde depoda kalan yakıt miktarını bulalım. Denklemde \( x = 300 \) değerini yerine koyacağız:
- \( y = -0.08 \times 300 + 50 \)
- \( y = -24 + 50 \)
- \( y = 26 \)
Örnek 7:
Merkezi M(2, -3) olan ve A(5, 1) noktasından geçen çemberin denklemini yazınız. ⚪
Çözüm:
Çemberin standart denklemi \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \) şeklindedir. Burada \( (a, b) \) çemberin merkezinin koordinatları ve \( r \) çemberin yarıçapıdır.
- Merkez \( M(2, -3) \) olarak verilmiş. Dolayısıyla \( a = 2 \) ve \( b = -3 \).
- Çemberin denklemi şimdilik \( (x-2)^2 + (y-(-3))^2 = r^2 \) yani \( (x-2)^2 + (y+3)^2 = r^2 \) olur.
- Yarıçapı bulmak için, merkez M ile çember üzerindeki A noktası arasındaki uzaklığı hesaplamamız gerekir. Bu uzaklık \( r \) 'ye eşittir.
- İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanalım: \( r = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
- Burada \( (x_1, y_1) = (2, -3) \) ve \( (x_2, y_2) = (5, 1) \).
- \( r = \sqrt{(5 - 2)^2 + (1 - (-3))^2} \)
- \( r = \sqrt{(3)^2 + (1 + 3)^2} \)
- \( r = \sqrt{9 + (4)^2} \)
- \( r = \sqrt{9 + 16} \)
- \( r = \sqrt{25} \)
- \( r = 5 \)
- Şimdi yarıçapın karesini ( \( r^2 \) ) bulalım: \( r^2 = 5^2 = 25 \).
- Çemberin denklemini tamamlayalım: \( (x-2)^2 + (y+3)^2 = 25 \)
Örnek 8:
Bir şehirdeki taksi ücret tarifesi şu şekildedir: Taksimetre açılış ücreti 10 TL'dir. Her kilometre için 5 TL eklenmektedir. Bir taksinin aldığı yolun kilometre cinsinden (x) ve ödenen toplam ücretin TL cinsinden (y) arasındaki ilişkiyi gösteren analitik denklemi yazınız. Eğer bir müşteri 15 km yol giderse ne kadar öder? 🚕
Çözüm:
Bu durum, sabit bir başlangıç ücreti ve kilometre başına sabit bir maliyetin olduğu doğrusal bir ilişkiyi temsil eder.
- Açılış ücreti: 10 TL. Bu, \( y \)-eksenini kestiği noktadır (x=0 iken y=10).
- Kilometre başına ücret: 5 TL. Bu, doğrunun eğimi olacaktır.
- Doğrunun denklemi \( y = mx + n \) formunda olacaktır.
- Burada \( m = 5 \) (kilometre başına ücret) ve \( n = 10 \) (açılış ücreti).
- Denklemimiz: \( y = 5x + 10 \)
- Şimdi, 15 km yol gidildiğinde ödenecek ücreti bulalım. Denklemde \( x = 15 \) değerini yerine koyacağız:
- \( y = 5 \times 15 + 10 \)
- \( y = 75 + 10 \)
- \( y = 85 \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-analitik-inceleme-sorulari/sorular