🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Analitik İnceleme, Dik Koordinat Sisteminde İki Nokta Arasındaki Uzaklık Ve Bir Doğru Parçasını Belli Oranda Bölme Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Analitik İnceleme, Dik Koordinat Sisteminde İki Nokta Arasındaki Uzaklık Ve Bir Doğru Parçasını Belli Oranda Bölme Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
📍 Dik koordinat sisteminde verilen \( A(-3, 4) \) ve \( B(5, -2) \) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için iki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanacağız. İşte adımlar:
- ✅ Uzaklık Formülü Hatırlatma: İki nokta \( P(x_1, y_1) \) ve \( Q(x_2, y_2) \) arasındaki uzaklık \( |PQ| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \) formülüyle bulunur.
- 👉 Koordinatları Yerine Yazma: Verilen noktalar \( A(-3, 4) \) ve \( B(5, -2) \).
\( x_1 = -3 \), \( y_1 = 4 \)
\( x_2 = 5 \), \( y_2 = -2 \) - 💡 Hesaplama: \[ |AB| = \sqrt{(5 - (-3))^2 + (-2 - 4)^2} \] \[ |AB| = \sqrt{(5 + 3)^2 + (-6)^2} \] \[ |AB| = \sqrt{(8)^2 + (-6)^2} \] \[ |AB| = \sqrt{64 + 36} \] \[ |AB| = \sqrt{100} \] \[ |AB| = 10 \]
Örnek 2:
📌 Dik koordinat sisteminde \( P(2, a) \) ve \( Q(-1, 6) \) noktaları arasındaki uzaklık 5 birim ise, \( a \)'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözüm:
İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanarak \( a \) değerini bulalım:
- ✅ Uzaklık Formülünü Kullanma: \( |PQ| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
- 👉 Değerleri Yerine Yazma: \( P(2, a) \), \( Q(-1, 6) \) ve \( |PQ| = 5 \). \[ 5 = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (6 - a)^2} \]
- 💡 Denklemi Çözme: Her iki tarafın karesini alalım. \[ 5^2 = (-3)^2 + (6 - a)^2 \] \[ 25 = 9 + (6 - a)^2 \] \[ 16 = (6 - a)^2 \]
- 🤔 Karekök Alma: Bir sayının karesi 16 ise, o sayı 4 veya -4 olabilir. \[ 6 - a = 4 \quad \text{veya} \quad 6 - a = -4 \]
- 🎯 \( a \) Değerlerini Bulma: \[ 6 - a = 4 \implies a = 6 - 4 \implies a = 2 \] \[ 6 - a = -4 \implies a = 6 + 4 \implies a = 10 \]
- ➕ Değerler Toplamı: \( a \) değerleri 2 ve 10'dur. Toplamları \( 2 + 10 = 12 \) olur.
Örnek 3:
⭐ Dik koordinat sisteminde \( A(-4, 7) \) ve \( B(6, -1) \) noktalarının orta noktasının koordinatları nedir?
Çözüm:
Bir doğru parçasının orta noktasını bulmak için basit bir formül kullanırız.
- ✅ Orta Nokta Formülü: İki nokta \( P(x_1, y_1) \) ve \( Q(x_2, y_2) \) arasındaki orta nokta \( M \) ise, \( M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \) formülüyle bulunur.
- 👉 Koordinatları Yerine Yazma: Verilen noktalar \( A(-4, 7) \) ve \( B(6, -1) \).
\( x_1 = -4 \), \( y_1 = 7 \)
\( x_2 = 6 \), \( y_2 = -1 \) - 💡 Hesaplama: \[ M_x = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] \[ M_y = \frac{7 + (-1)}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
Örnek 4:
💡 \( A(x, y) \) ve \( B(8, -5) \) noktaları veriliyor. \( [AB] \) doğru parçasının orta noktası \( C(3, 1) \) olduğuna göre, \( A \) noktasının koordinatları \( (x, y) \) nedir?
Çözüm:
Orta nokta formülünü kullanarak bilinmeyen \( A \) noktasının koordinatlarını bulabiliriz.
- ✅ Orta Nokta Formülü: \( C = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) \)
- 👉 Bilinenleri Yerine Yazma: \( A(x, y) \), \( B(8, -5) \), \( C(3, 1) \). \[ 3 = \frac{x + 8}{2} \] \[ 1 = \frac{y + (-5)}{2} \]
- 💡 x Koordinatını Bulma: \[ 3 = \frac{x + 8}{2} \] \[ 6 = x + 8 \] \[ x = 6 - 8 \] \[ x = -2 \]
- 🎯 y Koordinatını Bulma: \[ 1 = \frac{y - 5}{2} \] \[ 2 = y - 5 \] \[ y = 2 + 5 \] \[ y = 7 \]
Örnek 5:
🎯 Dik koordinat sisteminde \( A(-2, 3) \) ve \( B(10, 9) \) noktaları veriliyor. \( [AB] \) doğru parçasını \( \frac{|AC|}{|CB|} = \frac{1}{2} \) oranında içten bölen \( C \) noktasının koordinatlarını bulunuz.
Çözüm:
Bir doğru parçasını belirli bir oranda bölen noktanın koordinatlarını bulmak için oran formülünü kullanırız.
- ✅ İçten Bölme Formülü: Bir \( [AB] \) doğru parçasını \( \frac{|AC|}{|CB|} = \frac{k}{m} \) oranında bölen \( C(x_C, y_C) \) noktasının koordinatları şu şekilde bulunur: \[ x_C = \frac{m x_A + k x_B}{m + k} \] \[ y_C = \frac{m y_A + k y_B}{m + k} \] Burada \( k=1 \) ve \( m=2 \) olarak alabiliriz.
- 👉 Koordinatları ve Oranı Yerine Yazma: \( A(-2, 3) \), \( B(10, 9) \). Oran \( k=1, m=2 \). \[ x_C = \frac{2 \cdot (-2) + 1 \cdot 10}{2 + 1} \] \[ y_C = \frac{2 \cdot 3 + 1 \cdot 9}{2 + 1} \]
- 💡 x Koordinatını Hesaplama: \[ x_C = \frac{-4 + 10}{3} = \frac{6}{3} = 2 \]
- 🎯 y Koordinatını Hesaplama: \[ y_C = \frac{6 + 9}{3} = \frac{15}{3} = 5 \]
Örnek 6:
📏 Bir mühendis, şehir planlaması yaparken bir cadde üzerinde iki referans noktası belirlemiştir. Bu noktalar dik koordinat sisteminde \( K(1, 8) \) ve \( L(13, 2) \) olarak işaretlenmiştir. Yeni bir otobüs durağı bu iki referans noktası arasına, \( K \) noktasına olan uzaklığı \( L \) noktasına olan uzaklığının 2 katı olacak şekilde yerleştirilecektir. Buna göre, otobüs durağının (\( D \) noktasının) koordinatları ne olmalıdır?
Çözüm:
Bu problem, bir doğru parçasını belirli bir oranda içten bölme problemidir.
- ✅ Oranı Belirleme: Otobüs durağı \( D \) noktası olsun. \( K \) noktasına uzaklığı \( L \) noktasına uzaklığının 2 katı ise, \( |KD| = 2|DL| \) olur. Bu durumda \( \frac{|KD|}{|DL|} = \frac{2}{1} \) yani \( k=2 \) ve \( m=1 \) oranında içten bölme söz konusudur.
- 👉 İçten Bölme Formülünü Kullanma: \( K(x_1, y_1) = (1, 8) \) ve \( L(x_2, y_2) = (13, 2) \). \[ x_D = \frac{m x_1 + k x_2}{m + k} \] \[ y_D = \frac{m y_1 + k y_2}{m + k} \]
- 💡 Koordinatları Hesaplama: \[ x_D = \frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot 13}{1 + 2} = \frac{1 + 26}{3} = \frac{27}{3} = 9 \] \[ y_D = \frac{1 \cdot 8 + 2 \cdot 2}{1 + 2} = \frac{8 + 4}{3} = \frac{12}{3} = 4 \]
Örnek 7:
🗺️ Bir harita üzerinde, şehrin iki önemli noktası A ve B olarak işaretlenmiştir. Bu harita birim karelere ayrılmış bir koordinat düzlemi gibi düşünüldüğünde, A noktasının koordinatları \( (2, 1) \) ve B noktasının koordinatları \( (8, 9) \)'dur. Bu iki nokta arasına tam ortasına bir park yapılacaktır. Bu parkın haritadaki koordinatları ne olmalıdır?
Çözüm:
Bu, iki nokta arasındaki orta noktanın bulunması problemidir.
- ✅ Orta Nokta Formülü: Parkın yerini bulmak için A ve B noktalarının orta noktasını hesaplamalıyız. Orta nokta \( M = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) \) formülüyle bulunur.
- 👉 Koordinatları Yerine Yazma: \( A(2, 1) \) ve \( B(8, 9) \). \[ M_x = \frac{2 + 8}{2} \] \[ M_y = \frac{1 + 9}{2} \]
- 💡 Hesaplama: \[ M_x = \frac{10}{2} = 5 \] \[ M_y = \frac{10}{2} = 5 \]
Örnek 8:
📐 Bir üçgenin köşeleri \( A(1, 5) \), \( B(7, 1) \) ve \( C(x, y) \)'dir. Bu üçgenin \( [AB] \) kenarının orta noktası \( D \) olsun. Eğer \( D \) noktasının \( C \) noktasına olan uzaklığı \( \sqrt{13} \) birim ise, \( C \) noktasının koordinatları \( (x, y) \) için \( x + y \) toplamının alabileceği değerlerden biri kaçtır? (Not: Birden fazla çözüm olabilir, bizden sadece bir tanesi isteniyor.)
Çözüm:
Bu problemde önce orta noktayı bulacak, sonra iki nokta arası uzaklık formülünü kullanacağız.
- ✅ \( [AB] \) Kenarının Orta Noktası \( D \)'yi Bulma: \( A(1, 5) \) ve \( B(7, 1) \). \[ D_x = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4 \] \[ D_y = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] Yani \( D(4, 3) \)'tür.
- 👉 \( D \) ve \( C \) Arasındaki Uzaklığı Kullanma: \( D(4, 3) \), \( C(x, y) \) ve \( |DC| = \sqrt{13} \). Uzaklık formülü: \( |DC| = \sqrt{(x - x_D)^2 + (y - y_D)^2} \) \[ \sqrt{13} = \sqrt{(x - 4)^2 + (y - 3)^2} \]
- 💡 Denklemi Çözme: Her iki tarafın karesini alalım. \[ 13 = (x - 4)^2 + (y - 3)^2 \]
- 🤔 Bu denklemde \( x \) ve \( y \) için birden fazla çözüm kümesi olabilir. Soruda bizden sadece \( x + y \) toplamının alabileceği bir değer isteniyor. Bu tür durumlarda genellikle tam sayı çözümleri aranır veya basit değerler denenir.
Eğer \( (x-4)^2 \) veya \( (y-3)^2 \) kısımlarından biri 4, diğeri 9 olursa toplam 13 olur.
Durum 1: \( (x - 4)^2 = 4 \implies x - 4 = \pm 2 \)
\( x - 4 = 2 \implies x = 6 \)
\( x - 4 = -2 \implies x = 2 \)
Ve \( (y - 3)^2 = 9 \implies y - 3 = \pm 3 \)
\( y - 3 = 3 \implies y = 6 \)
\( y - 3 = -3 \implies y = 0 \) - 🎯 Olası \( (x, y) \) ve \( x+y \) Değerleri:
- Eğer \( x=6 \) ve \( y=6 \) ise, \( x+y = 6+6=12 \).
- Eğer \( x=6 \) ve \( y=0 \) ise, \( x+y = 6+0=6 \).
- Eğer \( x=2 \) ve \( y=6 \) ise, \( x+y = 2+6=8 \).
- Eğer \( x=2 \) ve \( y=0 \) ise, \( x+y = 2+0=2 \).
\( x - 4 = 3 \implies x = 7 \)
\( x - 4 = -3 \implies x = 1 \)
Ve \( (y - 3)^2 = 4 \implies y - 3 = \pm 2 \)
\( y - 3 = 2 \implies y = 5 \)
\( y - 3 = -2 \implies y = 1 \) - 🎯 Olası \( (x, y) \) ve \( x+y \) Değerleri (devam):
- Eğer \( x=7 \) ve \( y=5 \) ise, \( x+y = 7+5=12 \).
- Eğer \( x=7 \) ve \( y=1 \) ise, \( x+y = 7+1=8 \).
- Eğer \( x=1 \) ve \( y=5 \) ise, \( x+y = 1+5=6 \).
- Eğer \( x=1 \) ve \( y=1 \) ise, \( x+y = 1+1=2 \).
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-analitik-inceleme-dik-koordinat-sisteminde-iki-nokta-arasindaki-uzaklik-ve-bir-dogru-parcasini-belli-oranda-bolme/sorular