📄 10. Sınıf Matematik: Analitik İnceleme, Dik Koordinat Sisteminde İki Nokta Arasındaki Uzaklık Ve Bir Doğru Parçasını Belli Oranda Bölme Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

İlk olarak \(C\) noktasının koordinatlarını bulalım. \(C\) noktası \(AB\) doğru parçasının orta noktası olduğundan, orta nokta formülünü kullanırız:
\(C = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)\)
Verilen noktalar \(A(1, 2)\) ve \(B(5, 6)\) olduğuna göre:
\(x_C = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3\)
\(y_C = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4\)
Buna göre \(C\) noktasının koordinatları \((3, 4)\) olur.

Şimdi \(C(3, 4)\) noktasının orijine \((0, 0)\) olan uzaklığını hesaplayalım. İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanırız:
\(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)
Burada \((x_1, y_1) = (0, 0)\) ve \((x_2, y_2) = (3, 4)\) alabiliriz.
\(d_{OC} = \sqrt{(3 - 0)^2 + (4 - 0)^2}\)
\(d_{OC} = \sqrt{3^2 + 4^2}\)
\(d_{OC} = \sqrt{9 + 16}\)
\(d_{OC} = \sqrt{25}\)
\(d_{OC} = 5\) birimdir.

💡 Çözüm Adımları:

\(C\) noktası \(AB\) doğru parçasını \(1:2\) oranında içten böldüğüne göre, \(k=1\) ve \(l=2\) alabiliriz.
İçten bölme formülü:
\(C_x = \frac{k \cdot x_B + l \cdot x_A}{k+l}\)
\(C_y = \frac{k \cdot y_B + l \cdot y_A}{k+l}\)
Verilen noktalar \(A(-2, 5)\) ve \(B(4, -1)\) olduğundan:
\(x_C = \frac{1 \cdot 4 + 2 \cdot (-2)}{1+2} = \frac{4 - 4}{3} = \frac{0}{3} = 0\)
\(y_C = \frac{1 \cdot (-1) + 2 \cdot 5}{1+2} = \frac{-1 + 10}{3} = \frac{9}{3} = 3\)
Buna göre \(C\) noktasının koordinatları \((0, 3)\) olur.

💡 Çözüm Adımları:

Üçgenin kenar uzunluklarını bulmak için iki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanırız: \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\).

\(|AB|\) uzunluğu:
\(|AB| = \sqrt{(5 - 1)^2 + (3 - 3)^2}\)
\(|AB| = \sqrt{4^2 + 0^2}\)
\(|AB| = \sqrt{16}\)
\(|AB| = 4\) birim.

\(|BC|\) uzunluğu:
\(|BC| = \sqrt{(1 - 5)^2 + (7 - 3)^2}\)
\(|BC| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2}\)
\(|BC| = \sqrt{16 + 16}\)
\(|BC| = \sqrt{32}\) birim.

\(|AC|\) uzunluğu:
\(|AC| = \sqrt{(1 - 1)^2 + (7 - 3)^2}\)
\(|AC| = \sqrt{0^2 + 4^2}\)
\(|AC| = \sqrt{16}\)
\(|AC| = 4\) birim.

Kenar uzunlukları \(|AB|=4\), \(|BC|=\sqrt{32}\) ve \(|AC|=4\) birimdir.

Bir üçgenin dik üçgen olup olmadığını belirlemek için Pisagor teoremini kullanırız: \(a^2 + b^2 = c^2\). En uzun kenar hipotenüs olmalıdır. Burada en uzun kenar \(|BC| = \sqrt{32}\) olduğundan \(|BC|^2 = 32\) olacaktır.
Diğer iki kenarın karelerinin toplamı:
\(|AB|^2 + |AC|^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32\)
Görüldüğü gibi \(|AB|^2 + |AC|^2 = |BC|^2\) eşitliği sağlanmaktadır.
Bu nedenle \(ABC\) üçgeni bir dik üçgendir. Dik açı, \(A\) köşesindedir, çünkü \(A\) köşesi \(AB\) ve \(AC\) kenarlarının kesişim noktasıdır ve bu kenarların karelerinin toplamı en uzun kenarın karesine eşittir.
Ayrıca, \(A(1,3)\), \(B(5,3)\) ve \(C(1,7)\) noktalarına bakıldığında, \(AB\) kenarı y=3 doğrusu üzerinde (yatay), \(AC\) kenarı ise x=1 doğrusu üzerinde (dikey) yer alır. Bu da \(A\) köşesinde dik açı olduğunu doğrular.