Analitik İnceleme, Dik Koordinat Sisteminde İki Nokta Arasındaki Uzaklık Ve Bir Doğru Parçasını Belli Oranda Bölme Ders Notu

Analitik geometri, geometrik şekillerin ve uzamsal ilişkilerin koordinat sistemi kullanılarak cebirsel yöntemlerle incelenmesini sağlayan bir matematik dalıdır. Bu derste, dik koordinat sistemindeki temel kavramları, iki nokta arasındaki uzaklığı ve bir doğru parçasını belli bir oranda bölme konularını ele alacağız.

Analitik Geometriye Giriş ve Dik Koordinat Sistemi 📌

Dik (Kartezyen) Koordinat Sistemi, birbirine dik olan iki sayı doğrusunun (eksenin) bir noktada kesişmesiyle oluşur. Bu noktalara:

• Yatay Eksen: x-ekseni (apsisler ekseni)
• Dikey Eksen: y-ekseni (ordinatlar ekseni)
• Kesişim Noktası: Başlangıç noktası veya orijin (O(0,0))

Her nokta, bir sıralı ikili \( (x, y) \) ile temsil edilir; burada \(x\) noktanın apsisini, \(y\) ise ordinatını gösterir.

İki Nokta Arasındaki Uzaklık 📏

Dik koordinat sisteminde verilen iki nokta arasındaki uzaklığı Pisagor teoremini kullanarak bulabiliriz.

1. Uzaklık Formülü

Koordinatları \(A(x_1, y_1)\) ve \(B(x_2, y_2)\) olan iki nokta arasındaki uzaklık \(|AB|\) aşağıdaki formülle hesaplanır:

\[ |AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Bu formül, noktaların apsisleri farkının karesi ile ordinatları farkının karesinin toplamının karekökünü alarak bulunur. Temelde, bu iki noktayı birleştiren doğru parçasını bir dik üçgenin hipotenüsü olarak kabul ederiz.

2. Örnek Uygulama

Koordinatları \(A(1, 2)\) ve \(B(5, 5)\) olan iki nokta arasındaki uzaklığı bulalım.

• \(x_1 = 1\), \(y_1 = 2\)
• \(x_2 = 5\), \(y_2 = 5\)

Formülü uygulayarak:

\[ |AB| = \sqrt{(5 - 1)^2 + (5 - 2)^2} \] \[ |AB| = \sqrt{(4)^2 + (3)^2} \] \[ |AB| = \sqrt{16 + 9} \] \[ |AB| = \sqrt{25} \] \[ |AB| = 5 \]

Bu durumda, A ve B noktaları arasındaki uzaklık 5 birimdir.

Bir Doğru Parçasını Belli Oranda Bölme 📐

Bir doğru parçasını içten veya dıştan belli bir oranda bölen noktanın koordinatlarını bulmak önemlidir.

1. İçten Bölme

Bir \(AB\) doğru parçasını, \(A(x_1, y_1)\) ve \(B(x_2, y_2)\) noktaları arasında, \(|AC| / |CB| = m / n\) oranında içten bölen bir \(C(x, y)\) noktası için koordinatlar aşağıdaki gibi bulunur:

Eğer \(C\) noktası \(AB\) doğru parçasını içten \(m:n\) oranında bölüyorsa:

\[ C = \left( \frac{n x_1 + m x_2}{m + n}, \frac{n y_1 + m y_2}{m + n} \right) \]

Örnek Uygulama (İçten Bölme)

Koordinatları \(A(1, 3)\) ve \(B(7, 9)\) olan \(AB\) doğru parçasını \(|AC| / |CB| = 1 / 2\) oranında içten bölen \(C\) noktasının koordinatlarını bulalım.

• \(x_1 = 1\), \(y_1 = 3\)
• \(x_2 = 7\), \(y_2 = 9\)
• \(m = 1\), \(n = 2\)

Formülü uygulayarak:

\[ x_C = \frac{2 \cdot 1 + 1 \cdot 7}{1 + 2} = \frac{2 + 7}{3} = \frac{9}{3} = 3 \] \[ y_C = \frac{2 \cdot 3 + 1 \cdot 9}{1 + 2} = \frac{6 + 9}{3} = \frac{15}{3} = 5 \]

\(C\) noktasının koordinatları \( (3, 5) \) olarak bulunur.

Orta Nokta Formülü 🎯

Bir doğru parçasının orta noktası, doğru parçasını 1:1 oranında içten bölen noktadır (\(m=n=1\)). Bu durumda içten bölme formülü basitleşir:

Koordinatları \(A(x_1, y_1)\) ve \(B(x_2, y_2)\) olan \(AB\) doğru parçasının orta noktası \(M(x, y)\) için:

\[ M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \]

Örnek Uygulama (Orta Nokta)

Koordinatları \(P(-2, 4)\) ve \(Q(6, 0)\) olan \(PQ\) doğru parçasının orta noktasının koordinatlarını bulalım.

• \(x_1 = -2\), \(y_1 = 4\)
• \(x_2 = 6\), \(y_2 = 0\)

Formülü uygulayarak:

\[ x_M = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] \[ y_M = \frac{4 + 0}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

\(M\) noktasının koordinatları \( (2, 2) \) olarak bulunur.

2. Dıştan Bölme

Bir \(AB\) doğru parçasının uzantısı üzerinde (yani doğru parçasının dışında) bulunan bir \(C(x, y)\) noktası, \(AB\) doğru parçasını belli bir oranda dıştan bölebilir.

Eğer \(C\) noktası, \(AB\) doğru parçasını dıştan \(|AC| / |BC| = k\) oranında bölüyorsa ve \(B\) noktası \(A\) ile \(C\) arasında ise, \(C\) noktasının koordinatları aşağıdaki formülle bulunur:

Eğer \(C\) noktası \(AB\) doğru parçasını dıştan \(k\) oranında bölüyorsa (\(B\) noktası \(A\) ile \(C\) arasında):

\[ C = \left( \frac{k x_2 - x_1}{k - 1}, \frac{k y_2 - y_1}{k - 1} \right) \]

Burada \(k\) oranı, \(|AC|\) uzunluğunun \(|BC|\) uzunluğuna oranıdır.

Örnek Uygulama (Dıştan Bölme)

Koordinatları \(A(1, 2)\) ve \(B(3, 4)\) olan \(AB\) doğru parçasını dıştan \(|AC| / |BC| = 3\) oranında bölen \(C\) noktasının koordinatlarını bulalım (B noktası A ile C arasındadır).

• \(x_1 = 1\), \(y_1 = 2\)
• \(x_2 = 3\), \(y_2 = 4\)
• \(k = 3\)

Formülü uygulayarak:

\[ x_C = \frac{3 \cdot 3 - 1}{3 - 1} = \frac{9 - 1}{2} = \frac{8}{2} = 4 \] \[ y_C = \frac{3 \cdot 4 - 2}{3 - 1} = \frac{12 - 2}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]

\(C\) noktasının koordinatları \( (4, 5) \) olarak bulunur.