Analitik geometri Ders Notu

Analitik Geometri: Noktanın Analitik İncelenmesi

Analitik geometri, geometri problemlerini cebirsel yöntemlerle çözmemizi sağlayan bir daldır. Bu bölümde, düzlemdeki noktaların koordinatlarını ve bu noktalar arasındaki temel ilişkileri inceleyeceğiz. Koordinat sistemi, noktaların konumlarını belirlemek için kullanılan temel araçtır.

Koordinat Sistemi ve Noktalar

İki dik sayı doğrusunun (birbirini dik kesen x ve y eksenleri) kesişmesiyle oluşan sisteme Kartezyen koordinat sistemi denir. Bu sistemde, bir noktanın konumu, orijine (başlangıç noktası, O) olan uzaklıklarının x ve y eksenleri üzerindeki izdüşümleri ile belirlenir. Bir P noktasının koordinatları \( (x, y) \) şeklinde gösterilir. Burada:

• \( x \) : Noktanın x eksenindeki koordinatı (apsis)
• \( y \) : Noktanın y eksenindeki koordinatı (ordinat)

Koordinat sistemindeki bölgeler (kareler) şu şekilde adlandırılır:

• I. Bölge: \( x > 0 \) ve \( y > 0 \)
• II. Bölge: \( x < 0 \) ve \( y > 0 \)
• III. Bölge: \( x < 0 \) ve \( y < 0 \)
• IV. Bölge: \( x > 0 \) ve \( y < 0 \)

Eksenler üzerindeki noktaların koordinatları özel durumlardır:

• x ekseni üzerindeki noktalar: \( (x, 0) \)
• y ekseni üzerindeki noktalar: \( (0, y) \)
• Orijin: \( (0, 0) \)

İki Nokta Arasındaki Uzaklık

Analitik düzlemde verilen \( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) noktaları arasındaki uzaklık, Pisagor teoremi kullanılarak hesaplanır. İki nokta arasındaki uzaklık \( |AB| \) ile gösterilir ve formülü şöyledir:

\[ |AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Çözümlü Örnek 1:

Koordinatları \( A(2, 3) \) ve \( B(5, 7) \) olan iki nokta arasındaki uzaklığı bulunuz.

Çözüm:

Verilen noktalar \( x_1 = 2, y_1 = 3 \) ve \( x_2 = 5, y_2 = 7 \). Formülü uygulayalım:

\[ |AB| = \sqrt{(5 - 2)^2 + (7 - 3)^2} \] \[ |AB| = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} \] \[ |AB| = \sqrt{9 + 16} \] \[ |AB| = \sqrt{25} \] \[ |AB| = 5 birim

Noktaların Birleştirme Noktası (Orta Nokta)

İki A(x_1, y_1) ve B(x_2, y_2) noktasını birleştiren doğru parçasının orta noktasının M(x_m, y_m) koordinatları şu şekilde bulunur:

\[ x_m = \frac{x_1 + x_2}{2} \] \[ y_m = \frac{y_1 + y_2}{2} \]

Yani, orta noktanın koordinatları \( M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \) olur.

Çözümlü Örnek 2:

\( C(-1, 4) \) ve \( D(7, -2) \) noktalarının orta noktasının koordinatlarını bulunuz.

Çözüm:

Verilen noktalar \( x_1 = -1, y_1 = 4 \) ve \( x_2 = 7, y_2 = -2 \). Orta nokta formülünü kullanalım:

\[ x_m = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] \[ y_m = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

Orta noktanın koordinatları \( M(3, 1) \) olur.

Noktaları Belirli Oranda Bölen Nokta

\( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) noktalarını \( \frac{m}{n} \) oranında içten bölen \( P(x, y) \) noktasının koordinatları şu formüllerle bulunur:

\[ x = \frac{nx_1 + mx_2}{m + n} \] \[ y = \frac{ny_1 + my_2}{m + n} \]

Eğer nokta dıştan bölünüyorsa, formüllerde \( n \) yerine \( -n \) kullanılır veya \( m \) ve \( n \) işaretleri farklı alınır.

Çözümlü Örnek 3:

\( A(1, 2) \) ve \( B(7, 8) \) noktalarını \( \frac{1}{2} \) oranında içten bölen \( P \) noktasının koordinatlarını bulunuz.

Çözüm:

Burada \( x_1 = 1, y_1 = 2, x_2 = 7, y_2 = 8 \) ve \( m = 1, n = 2 \). Formülleri uygulayalım:

\[ x = \frac{2(1) + 1(7)}{1 + 2} = \frac{2 + 7}{3} = \frac{9}{3} = 3 \] \[ y = \frac{2(2) + 1(8)}{1 + 2} = \frac{4 + 8}{3} = \frac{12}{3} = 4 \]

Bölen noktanın koordinatları \( P(3, 4) \) olur.

Üç Noktanın Doğrusallığı

Üç noktanın aynı doğru üzerinde bulunması durumuna doğrusallık denir. \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \) ve \( C(x_3, y_3) \) noktalarının doğrusal olması için, bu noktaların oluşturduğu üçgenin alanının sıfır olması gerekir. Alan formülü yerine, eğim kavramını kullanmak daha pratiktir.

Eğer \( A, B, C \) noktaları doğrusal ise, AB arasındaki eğim ile BC arasındaki eğim birbirine eşit olmalıdır.

Eğim \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \) formülü ile bulunur.

Dolayısıyla, \( m_{AB} = m_{BC} \) olmalıdır.

\[ \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{y_3 - y_2}{x_3 - x_2} \]

Çözümlü Örnek 4:

\( P(1, 2) \), \( Q(3, 6) \) ve \( R(k, 10) \) noktalarının doğrusal olması için \( k \) kaç olmalıdır?

Çözüm:

Noktaların doğrusal olması için \( m_{PQ} = m_{QR} \) olmalıdır.

Önce \( m_{PQ} \) hesaplayalım:

\[ m_{PQ} = \frac{6 - 2}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2 \]

Şimdi \( m_{QR} \) hesaplayalım:

\[ m_{QR} = \frac{10 - 6}{k - 3} = \frac{4}{k - 3} \]

Eğimleri eşitleyelim:

\[ 2 = \frac{4}{k - 3} \]

İçler dışlar çarpımı yaparsak:

\[ 2(k - 3) = 4 \] \[ 2k - 6 = 4 \] \[ 2k = 10 \] \[ k = 5 \]

Bu durumda \( k \) değeri 5 olmalıdır.