3. Tema çözümlü sorular Ders Notu

10. Sınıf Matematik: Üslü Sayılar ve Kareköklü Sayılar Çözümlü Sorular

Bu bölümde, 10. sınıf matematik müfredatında yer alan üslü sayılar ve kareköklü sayılar konularına yönelik çözümlü sorularla bilgilerinizi pekiştireceksiniz. Bu iki konu, matematiğin temel yapı taşlarından olup, ileri düzeydeki birçok kavramın anlaşılmasında kritik rol oynar.

Üslü Sayılar Çözümlü Sorular

Üslü sayılar, bir sayının kendisiyle tekrarlı çarpımını ifade etmek için kullanılır. Temel kural, \( a^n \) ifadesinde \( a \) taban, \( n \) ise üs olarak adlandırılır.

Soru 1:

Aşağıdaki işlemi çözünüz:

\[ 2^3 \times 2^4 \]

Çözüm: Üslü sayılarda çarpma işlemi yapılırken tabanlar aynı ise üsler toplanır. \[ 2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 \] \( 2^7 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 128 \) Sonuç: 128

Soru 2:

İşleminin sonucu kaçtır?

\[ \frac{5^6}{5^2} \]

Çözüm: Üslü sayılarda bölme işlemi yapılırken tabanlar aynı ise üsler çıkarılır. \[ \frac{5^6}{5^2} = 5^{6-2} = 5^4 \] \( 5^4 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 625 \) Sonuç: 625

Soru 3:

Aşağıdaki ifadeyi basitleştiriniz:

\[ (3^2)^3 \]

Çözüm: Bir üslü sayının üssü alındığında üsler çarpılır. \[ (3^2)^3 = 3^{2 \times 3} = 3^6 \] \( 3^6 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 729 \) Sonuç: 729

Kareköklü Sayılar Çözümlü Sorular

Kareköklü sayılar, bir sayının karesinin tersi olarak düşünülebilir. Bir sayının karekökü, karesi o sayıya eşit olan sayıdır. Karekök işareti \( \sqrt{} \) ile gösterilir.

Soru 4:

Aşağıdaki kareköklü ifadeyi hesaplayınız:

\[ \sqrt{81} \]

Çözüm: Hangi sayının karesinin 81 olduğunu bulmalıyız. \( 9 \times 9 = 81 \) olduğundan, \[ \sqrt{81} = 9 \] Sonuç: 9

Soru 5:

İşleminin sonucu kaçtır?

\[ \sqrt{16} + \sqrt{25} \]

Çözüm: Her bir karekökü ayrı ayrı hesaplayıp toplayacağız. \[ \sqrt{16} = 4 \quad (\text{çünkü } 4^2 = 16) \] \[ \sqrt{25} = 5 \quad (\text{çünkü } 5^2 = 25) \] \[ \sqrt{16} + \sqrt{25} = 4 + 5 = 9 \] Sonuç: 9

Soru 6:

Aşağıdaki işlemi çözünüz:

\[ \sqrt{50} + \sqrt{18} \]

Çözüm: Kareköklü sayılarda toplama işlemi yapabilmek için kök içlerinin aynı olması gerekir. Karekökleri basitleştirelim. \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \) \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \) Şimdi toplama işlemini yapabiliriz: \[ 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = (5+3)\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \] Sonuç: \( 8\sqrt{2} \)

Soru 7:

İşleminin sonucu kaçtır?

\[ \sqrt{4 \times 9} \]

Çözüm: Karekökün içindeki çarpma işlemini yapabilir veya ayrı ayrı kareköklerini alabiliriz. Yöntem 1: Çarpma işlemini yapalım. \[ \sqrt{4 \times 9} = \sqrt{36} = 6 \] Yöntem 2: Ayrı ayrı kareköklerini alalım. \[ \sqrt{4 \times 9} = \sqrt{4} \times \sqrt{9} = 2 \times 3 = 6 \] Sonuç: 6

Bu çözümlü sorular, üslü sayılar ve kareköklü sayılar konularındaki temel becerilerinizi geliştirmenize yardımcı olacaktır. Bu kavramları iyi anlamak, ileriki matematik konularında karşınıza çıkacak daha karmaşık problemleri çözmenizde size büyük avantaj sağlayacaktır.