Eğik atış Ders Notu

Eğik Atış Hareketleri ⚛️

Eğik atış hareketi, bir cismin yerçekiminin etkisi altında, yatay ve düşey doğrultularda aynı anda hareket ettiği bir harekettir. Bu hareket, iki bağımsız hareketin birleşimi olarak incelenir: yatay doğrultudaki düzgün doğrusal hareket ve düşey doğrultudaki düzgün hızlanan doğrusal hareket.

Yatay ve Düşey Bileşenler ↗️

Bir eğik atış hareketinde, ilk hız vektörü \( \vec{v_0} \) ile atılan bir cismin hızının yatay ve düşey bileşenleri şunlardır:

• Yatay hız bileşeni: \( v_{0x} = v_0 \cos{\theta} \)
• Düşey hız bileşeni: \( v_{0y} = v_0 \sin{\theta} \)

Burada \( v_0 \) ilk hızın büyüklüğü ve \( \theta \) ise yatay düzlemle yapılan açıdır.

Hareket Denklemleri 📜

Eğik atış hareketini analiz ederken, her bir bileşen için ayrı ayrı hareket denklemleri kullanılır:

Yatay Doğrultudaki Hareket (Düzgün Doğrusal Hareket)

Yatayda sürtünmeler ihmal edildiğinde, cismin yatay hız bileşeni sabittir:

• Hız: \( v_x = v_{0x} = v_0 \cos{\theta} \)
• Konum: \( x = v_{0x} t = (v_0 \cos{\theta}) t \)

Düşey Doğrultudaki Hareket (Düzgün Hızlanan Doğrusal Hareket)

Düşeyde yerçekimi ivmesi \( g \) (yaklaşık \( 9.8 \, m/s^2 \)) etki eder. Yukarı doğru hareket eden cisim yavaşlar, aşağı doğru hareket eden cisim hızlanır.

• Hız: \( v_y = v_{0y} - gt = (v_0 \sin{\theta}) - gt \)
• Konum: \( y = v_{0y} t - \frac{1}{2} gt^2 = (v_0 \sin{\theta}) t - \frac{1}{2} gt^2 \)

Not: Yükseklik \( y \) pozitif kabul edilirken, yer seviyesi \( y=0 \) olarak alınır. Yerçekimi ivmesi \( g \) her zaman aşağı doğru etki eder.

Önemli Kavramlar ve Formüller 🔑

Uçuş Süresi (T) ⏳

Cismin havada kalma süresidir. Tepe noktasına çıkış süresi ile iniş süresi toplamıdır. Cismin tekrar yere düştüğü anda \( y=0 \) olur.

\( y = (v_0 \sin{\theta}) t - \frac{1}{2} gt^2 = 0 \)
\( t \left( v_0 \sin{\theta} - \frac{1}{2} gt \right) = 0 \)
Bu denklemden iki \( t \) değeri bulunur: \( t=0 \) (başlangıç anı) ve \( T = \frac{2 v_0 \sin{\theta}}{g} \) (uçuş süresi).

Maksimum Yükseklik (h_max) ⬆️

Cismin ulaşabileceği en yüksek noktadır. Tepe noktasında düşey hız bileşeni sıfırdır (\( v_y = 0 \)).

\( v_y = (v_0 \sin{\theta}) - gt = 0 \implies t_{çıkış} = \frac{v_0 \sin{\theta}}{g} \) (Tepe noktasına çıkış süresi)
\( h_{max} = (v_0 \sin{\theta}) t_{çıkış} - \frac{1}{2} g t_{çıkış}^2 \)
\( h_{max} = \frac{(v_0 \sin{\theta})^2}{2g} \)

Menzil (R) ↔️

Cismin yatayda aldığı toplam yoldur. Uçuş süresi \( T \) boyunca yatay hız \( v_{0x} \) ile hareket eder.

\( R = v_{0x} T \)
\( R = (v_0 \cos{\theta}) \left( \frac{2 v_0 \sin{\theta}}{g} \right) \)
\( R = \frac{v_0^2 (2 \sin{\theta} \cos{\theta})}{g} \)
Trigonometrik özdeşlik \( 2 \sin{\theta} \cos{\theta} = \sin{2\theta} \) kullanılarak menzil formülü:
\( R = \frac{v_0^2 \sin{2\theta}}{g} \)

En Büyük Menzil 🎯

Menzilin en büyük olabilmesi için \( \sin{2\theta} \) değerinin en büyük olması gerekir. \( \sin \) fonksiyonunun alabileceği en büyük değer 1'dir. Bu durum \( 2\theta = 90^\circ \) olduğunda gerçekleşir, yani \( \theta = 45^\circ \) olduğunda cisim en büyük menzile ulaşır.

Örnek Bir Soru ❓

Yerden 30 m/s ilk hızla ve yatayla 37 derecelik açıyla atılan bir cismin;

• Uçuş süresini,
• Maksimum yüksekliğini,
• Yatay menzilini bulunuz.

(Sürtünmeler ihmal edilecektir. \( \sin{37^\circ} \approx 0.6 \), \( \cos{37^\circ} \approx 0.8 \), \( g = 10 \, m/s^2 \) alınız.)

İlk hız bileşenleri:
\( v_{0x} = v_0 \cos{37^\circ} = 30 \times 0.8 = 24 \, m/s \)
\( v_{0y} = v_0 \sin{37^\circ} = 30 \times 0.6 = 18 \, m/s \)

Uçuş Süresi (T):
\( T = \frac{2 v_{0y}}{g} = \frac{2 \times 18}{10} = \frac{36}{10} = 3.6 \, s \)

Maksimum Yükseklik (h_max):
\( h_{max} = \frac{v_{0y}^2}{2g} = \frac{18^2}{2 \times 10} = \frac{324}{20} = 16.2 \, m \)

Yatay Menzil (R):
\( R = v_{0x} T = 24 \times 3.6 = 86.4 \, m \)