Verilen soruyu adım adım, kısa ve öz bir şekilde çözelim:

• 1. Evrensel Küme E'nin Eleman Sayısını Bulma:

Evrensel küme E, 1 ile 100 arasındaki 3'ün katı olan tam sayılardan oluşur. Yani $E = \{x | 1 \le x \le 100, x=3k, k \in \mathbb{Z}\}$.

Bu kümenin elemanları: $3, 6, 9, ..., 99$.

Eleman sayısı formülü: $(Son Terim - İlk Terim) / Artış Miktarı + 1$

$|E| = (99 - 3) / 3 + 1 = 96 / 3 + 1 = 32 + 1 = 33$.

Yani, $|E| = 33$.

• 2. $A \cap B$ Kümesinin Elemanlarını ve Sayısını Bulma:

Verilen kümeler:

$A = \{3, 6, 9, 12\}$

$B = \{6, 12, 18, 21, 99\}$

$A \cap B$ kümesi, A ve B kümelerinin ortak elemanlarından oluşur.

$A \cap B = \{6, 12\}$.

Yani, $|A \cap B| = 2$.

• 3. $A' \cup B'$ Kümesinin Eleman Sayısını Bulma:

De Morgan Kuralları'na göre, $A' \cup B' = (A \cap B)'$ dir.

Bir kümenin tümleyeni, evrensel kümeden o kümenin çıkarılmasıyla bulunur. Yani, $|(A \cap B)'| = |E| - |A \cap B|$.

Yukarıda bulduğumuz değerleri yerine koyarsak:

$|A' \cup B'| = |E| - |A \cap B| = 33 - 2 = 31$.

Cevap B seçeneğidir.