Verilen Venn şemasındaki boyalı bölgeleri ifade eden matematiksel gösterimi bulmak için adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: Kümeleri Tanımlama

Şekilde üç adet küme bulunmaktadır. Soldaki mavi daireyi A kümesi, ortadaki turuncu daireyi B kümesi ve sağdaki yeşil daireyi C kümesi olarak adlandıralım.

• Adım 2: Boyalı Bölgeleri Belirleme

Şemada iki ayrı bölge boyanmıştır:

• Birinci boyalı bölge, A kümesi ile B kümesinin kesişim noktasıdır. Bu bölgeyi \(A \cap B\) olarak ifade ederiz.
• İkinci boyalı bölge, B kümesi ile C kümesinin kesişim noktasıdır. Bu bölgeyi \(B \cap C\) olarak ifade ederiz.
• Adım 3: Boyalı Bölgeleri Birleştirme

Her iki boyalı bölge de çözümün bir parçası olduğundan, bu iki kesişimin birleşimini almamız gerekir. Yani, boyalı bölgelerin ifadesi \((A \cap B) \cup (B \cap C)\) şeklindedir.

• Adım 4: İfadeyi Sadeleştirme ve Seçeneklerle Karşılaştırma

Kümelerde dağılma özelliğini kullanarak \((A \cap B) \cup (B \cap C)\) ifadesini sadeleştirebiliriz. Ortak olan B kümesini dışarı alarak:

\((A \cap B) \cup (B \cap C) = B \cap (A \cup C)\)

Şimdi bu ifadeyi seçeneklerle karşılaştıralım:

• A) \(A \cap B \cap C\): Üç kümenin de kesişimini ifade eder, bu sadece ortadaki küçük bölgedir, boyalı bölgeleri kapsamaz.
• B) \(A \cup (B \cap C)\): A kümesinin tamamı ile B ve C'nin kesişimini ifade eder, bu da boyalı bölgeleri doğru şekilde temsil etmez.
• C) \(B \cap (A \cup C)\): B kümesi ile A ve C kümelerinin birleşiminin kesişimini ifade eder. Bu, B kümesinin A ile kesişen kısmı (\(B \cap A\)) ve B kümesinin C ile kesişen kısmının (\(B \cap C\)) birleşimi anlamına gelir. Yani \((B \cap A) \cup (B \cap C)\) ifadesine eşittir. Bu, bizim bulduğumuz \((A \cap B) \cup (B \cap C)\) ifadesiyle aynıdır.
• D) \(B \cup (A \cap C)\): B kümesinin tamamı ile A ve C'nin kesişimini ifade eder, bu da doğru değildir.
• E) \(C \cap (A \cup B)\): C kümesi ile A ve B kümelerinin birleşiminin kesişimini ifade eder, bu da \((C \cap A) \cup (C \cap B)\) anlamına gelir ve boyalı bölgeleri tam olarak kapsamaz.

Bu durumda, doğru ifade C seçeneğinde verilmiştir.

Cevap C seçeneğidir.