Verilen kümelerin elemanlarını belirleyelim ve ardından kesişim kümesinin eleman sayısını bulalım.

• A Kümesi:

  $A = \{x \mid x, \text{ 3 katı iki basamaklı olan doğal sayılar}\}$

  Bu, $3x$ sayısının iki basamaklı bir doğal sayı olması gerektiği anlamına gelir. İki basamaklı doğal sayılar 10'dan 99'a kadardır.

  $10 \le 3x \le 99$

  Her tarafı 3'e bölersek:

  $\frac{10}{3} \le x \le \frac{99}{3}$

  $3.33... \le x \le 33$

  $x$ bir doğal sayı olduğu için, $x$ değerleri 4'ten 33'e kadar olan sayılardır. Yani $A = \{4, 5, ..., 33\}$.

• B Kümesi:

  $B = \{y \mid y, \text{ 4 katı iki basamaklı olan doğal sayılar}\}$

  Bu, $4y$ sayısının iki basamaklı bir doğal sayı olması gerektiği anlamına gelir.

  $10 \le 4y \le 99$

  Her tarafı 4'e bölersek:

  $\frac{10}{4} \le y \le \frac{99}{4}$

  $2.5 \le y \le 24.75$

  $y$ bir doğal sayı olduğu için, $y$ değerleri 3'ten 24'e kadar olan sayılardır. Yani $B = \{3, 4, ..., 24\}$.

• $A \cap B$ Kümesi:

  $A \cap B$ kümesi, hem A kümesinde hem de B kümesinde bulunan elemanlardan oluşur. Bir eleman $k$, $A \cap B$ kümesinde ise, hem A kümesinin hem de B kümesinin koşullarını sağlamalıdır.

  Yani $k$ için:

  • $4 \le k \le 33$ (A kümesinden)
  • $3 \le k \le 24$ (B kümesinden)

  Bu iki koşulu aynı anda sağlayan $k$ değerlerini bulmak için, alt sınırların en büyüğünü ve üst sınırların en küçüğünü alırız:

  $\max(4, 3) \le k \le \min(33, 24)$

  $4 \le k \le 24$

  Bu durumda $A \cap B = \{4, 5, 6, ..., 24\}$ olur.

• Eleman Sayısı:

  $A \cap B$ kümesinin eleman sayısını bulmak için, son terimden ilk terimi çıkarıp 1 ekleriz:

  Eleman sayısı $= 24 - 4 + 1 = 20 + 1 = 21$.

Cevap C seçeneğidir.