Verilen bilgilere göre, $A$ ve $B$ kümelerinin eleman sayıları $s(A)=8$ ve $s(B)=10$'dur. Ayrıca, $A \not\subseteq B$ koşulu bulunmaktadır. Bizden $A \cup B$ kümesinin eleman sayısının en az kaç olduğu isteniyor.

• İki kümenin birleşiminin eleman sayısını veren genel formül şöyledir: $$s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)$$
• $s(A \cup B)$'nin en küçük değerini bulmak için, $s(A \cap B)$'nin en büyük değerini bulmamız gerekir.
• $A \not\subseteq B$ koşulu, $A$ kümesinde olup $B$ kümesinde olmayan en az bir eleman olduğu anlamına gelir. Yani, $s(A \setminus B) \ge 1$.
• $A$ kümesinin eleman sayısı, $A \setminus B$ ve $A \cap B$ kümelerinin eleman sayılarının toplamına eşittir: $$s(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B)$$
• Verilen $s(A)=8$ değerini yerine koyarsak: $$8 = s(A \setminus B) + s(A \cap B)$$
• $s(A \cap B)$'yi en büyük yapmak için, $s(A \setminus B)$'yi en küçük yapmalıyız. $A \not\subseteq B$ koşulundan dolayı $s(A \setminus B)$'nin en küçük değeri 1'dir.
• Bu durumda, $s(A \cap B)$'nin en büyük değeri: $$s(A \cap B)_{max} = 8 - s(A \setminus B)_{min} = 8 - 1 = 7$$
• Şimdi bu değeri $s(A \cup B)$ formülünde yerine koyarak en küçük değeri bulalım: $$s(A \cup B)_{min} = s(A) + s(B) - s(A \cap B)_{max}$$ $$s(A \cup B)_{min} = 8 + 10 - 7$$ $$s(A \cup B)_{min} = 18 - 7$$ $$s(A \cup B)_{min} = 11$$

Cevap B seçeneğidir.