Bu soruda, verilen A ve B kümelerinin birleşiminin eleman sayısını (kardinalitesini) bulmamız istenmektedir. Bunun için öncelikle her bir kümenin elemanlarını belirleyip, ardından birleşim kümesinin eleman sayısını hesaplayacağız.

• A kümesinin elemanlarını bulalım:

  A kümesi, 1 ile 15 arasındaki (1 ve 15 dahil değil) 3'ün katı olan tam sayılardan oluşur. Yani \(1 < x < 15\) ve \(x = 3k\) koşullarını sağlayan \(x\) değerleridir.

  • \(k=1 \Rightarrow x=3\)
  • \(k=2 \Rightarrow x=6\)
  • \(k=3 \Rightarrow x=9\)
  • \(k=4 \Rightarrow x=12\)

  Bu durumda, \(A = \{3, 6, 9, 12\}\) olur. A kümesinin eleman sayısı \(s(A) = 4\)'tür.

• B kümesinin elemanlarını bulalım:

  B kümesi, 15 ile 30 arasındaki (15 ve 30 dahil değil) 4'ün katı olan tam sayılardan oluşur. Yani \(15 < y < 30\) ve \(y = 4p\) koşullarını sağlayan \(y\) değerleridir.

  • \(p=4 \Rightarrow y=16\)
  • \(p=5 \Rightarrow y=20\)
  • \(p=6 \Rightarrow y=24\)
  • \(p=7 \Rightarrow y=28\)

  Bu durumda, \(B = \{16, 20, 24, 28\}\) olur. B kümesinin eleman sayısı \(s(B) = 4\)'tür.

• A ve B kümelerinin kesişimini bulalım:

  A ve B kümelerinin ortak elemanları olup olmadığını kontrol edelim. \(A = \{3, 6, 9, 12\}\) ve \(B = \{16, 20, 24, 28\}\) kümelerinde ortak eleman bulunmamaktadır. Bu nedenle, kesişim kümesi boş kümedir: \(A \cap B = \emptyset\).

  Kesişim kümesinin eleman sayısı \(s(A \cap B) = 0\)'dır.

• A ve B kümelerinin birleşiminin eleman sayısını hesaplayalım:

  İki kümenin birleşiminin eleman sayısı formülü şöyledir:

  \(s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)\)

  Bulduğumuz değerleri yerine koyalım:

  \(s(A \cup B) = 4 + 4 - 0\)

  \(s(A \cup B) = 8\)

Cevap D seçeneğidir.