Verilen ifadelerin hangilerinin daima doğru olduğunu bulmak için her birini ayrı ayrı inceleyelim.

• I. İfade:

  \(s(A \cup B) = s(A)\) ise \(s(B) = 0\)'dır.

  Kümelerin birleşim formülü: \(s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)\).

  Verilen eşitliği yerine yazarsak:

  \(s(A) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)\)

  \(0 = s(B) - s(A \cap B)\)

  \(s(B) = s(A \cap B)\)

  Bu durum, B kümesinin tüm elemanlarının A kümesinde olduğu anlamına gelir, yani \(B \subseteq A\). Ancak bu, \(s(B) = 0\) olduğu anlamına gelmez. Örneğin, \(A = \{1, 2, 3\}\) ve \(B = \{1, 2\}\) alırsak, \(s(A \cup B) = s(\{1, 2, 3\}) = 3\) ve \(s(A) = 3\)'tür. Yani \(s(A \cup B) = s(A)\) sağlanır. Fakat \(s(B) = 2\), yani \(s(B) \neq 0\)'dır. Bu nedenle I. ifade daima doğru değildir.

• II. İfade:

  \(s(A \cap B) = s(A)\) ise \(A = B\)'dir.

  \(s(A \cap B) = s(A)\) olması, A kümesinin tüm elemanlarının B kümesinde olduğu anlamına gelir, yani \(A \subseteq B\). Ancak bu, A ve B kümelerinin eşit olduğu anlamına gelmez. Örneğin, \(A = \{1, 2\}\) ve \(B = \{1, 2, 3\}\) alırsak, \(s(A \cap B) = s(\{1, 2\}) = 2\) ve \(s(A) = 2\)'dir. Yani \(s(A \cap B) = s(A)\) sağlanır. Fakat \(A \neq B\)'dir. Bu nedenle II. ifade daima doğru değildir.

• III. İfade:

  \(s(A \cup B) = s(A \cap B)\) ise \(A = B\)'dir.

  Kümelerin birleşim formülü: \(s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)\).

  Verilen eşitliği yerine yazarsak:

  \(s(A \cap B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)\)

  \(2 \cdot s(A \cap B) = s(A) + s(B)\)

  Ayrıca, \(s(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B)\) ve \(s(B) = s(B \setminus A) + s(A \cap B)\) olduğunu biliyoruz. Bu ifadeleri yukarıdaki denkleme yerleştirelim:

  \(2 \cdot s(A \cap B) = (s(A \setminus B) + s(A \cap B)) + (s(B \setminus A) + s(A \cap B))\)

  \(2 \cdot s(A \cap B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + 2 \cdot s(A \cap B)\)

  Her iki taraftan \(2 \cdot s(A \cap B)\) çıkarırsak:

  \(0 = s(A \setminus B) + s(B \setminus A)\)

  Kümelerin eleman sayıları negatif olamayacağından, \(s(A \setminus B) \ge 0\) ve \(s(B \setminus A) \ge 0\)'dır. İki negatif olmayan sayının toplamının sıfır olması için her ikisinin de sıfır olması gerekir:

  \(s(A \setminus B) = 0\) ve \(s(B \setminus A) = 0\)

  \(s(A \setminus B) = 0\) olması, A kümesinde B kümesinde olmayan hiçbir eleman olmadığı anlamına gelir, yani \(A \subseteq B\).

  \(s(B \setminus A) = 0\) olması, B kümesinde A kümesinde olmayan hiçbir eleman olmadığı anlamına gelir, yani \(B \subseteq A\).

  Hem \(A \subseteq B\) hem de \(B \subseteq A\) ise, bu ancak \(A = B\) olduğunda mümkündür. Bu nedenle III. ifade daima doğrudur.

Sonuç olarak, yalnızca III. ifade daima doğrudur.

Cevap B seçeneğidir.