Verilen Venn şemasındaki boyalı bölgeyi ifade etmek için adımları takip edelim:
- Adım 1: Kümeleri Adlandırma
Şemadaki üç elipsi sırasıyla adlandıralım:
- Yeşil renkli en dıştaki elipsi A kümesi olarak alalım.
- Mavi renkli elipsi B kümesi olarak alalım.
- Sarı renkli en içteki elipsi C kümesi olarak alalım.
- Adım 2: Kümeler Arasındaki İlişkileri Gözlemleme
Şemaya dikkatlice baktığımızda, sarı elipsin (C kümesi) tamamen yeşil elipsin (A kümesi) içinde yer aldığını görürüz. Bu durum, matematiksel olarak \(C \subset A\) şeklinde ifade edilir (C kümesi, A kümesinin bir alt kümesidir).
Mavi elips (B kümesi) hem yeşil elips (A kümesi) hem de sarı elips (C kümesi) ile kesişmektedir.
- Adım 3: Boyalı Bölgeyi Belirleme
Boyalı bölge, mavi elips (B kümesi) ile sarı elipsin (C kümesi) ortak kesişim alanıdır. Bu nedenle, boyalı bölgeyi \(B \cap C\) olarak ifade edebiliriz.
- Adım 4: Seçenek A'yı Değerlendirme
Sorunun doğru cevabı olarak belirtilen A seçeneği, \(A \cap B \cap C\) ifadesidir.
- Adım 5: İfadelerin Eşdeğerliğini Kontrol Etme
Adım 2'de belirlediğimiz gibi, \(C \subset A\) ilişkisi vardır. Bu, C kümesindeki her elemanın aynı zamanda A kümesinde de olduğu anlamına gelir.
Şimdi \(B \cap C\) ifadesini düşünelim. Bu kümedeki her eleman hem B'de hem de C'dedir. Madem ki eleman C'dedir ve \(C \subset A\), o zaman bu eleman aynı zamanda A'da da olmak zorundadır.
Bu durumda, \(B \cap C\) kümesi de A kümesinin bir alt kümesidir, yani \(B \cap C \subset A\).
Bir küme (örneğin \(B \cap C\)) başka bir kümenin (örneğin A) alt kümesi olduğunda, bu iki kümenin kesişimi, alt kümenin kendisine eşittir. Yani:
\(A \cap (B \cap C) = B \cap C\)
Bu eşitlik, \(A \cap B \cap C\) ifadesinin aslında \(B \cap C\) ile aynı anlama geldiğini gösterir.
Sonuç olarak, boyalı bölgeyi temsil eden \(B \cap C\) ifadesi, verilen küme ilişkileri nedeniyle \(A \cap B \cap C\) ifadesine eşdeğerdir.
Cevap A seçeneğidir.