Adım adım çözüm:

• 1. Kümelerin elemanlarını belirleyelim:
• Venn şemasındaki her bir nokta bir elemanı temsil etmektedir.
• A kümesi (yeşil elips): 4 nokta içerir.
• B kümesi (mor elips): 4 nokta içerir.
• C kümesi (kırmızı elips): 5 nokta içerir.
• 2. \(A \cup B\) kümesinin elemanlarını bulalım:
• \(A \cup B\) kümesi, A veya B kümelerinden en az birinde bulunan tüm noktaları içerir.
• Şemaya göre, A veya B elipslerinin içinde bulunan noktalar şunlardır:
  • Sadece A'da olan nokta (sol üst)
  • Sadece B'de olan nokta (sağ üst)
  • A ve B'de olan, C'de olmayan nokta (üst orta)
  • A ve C'de olan, B'de olmayan nokta (sol orta)
  • B ve C'de olan, A'da olmayan nokta (sağ orta)
  • A, B ve C'de olan nokta (merkez)
• Bu durumda, \(|A \cup B| = 6\) noktadır.
• 3. \((A \cup B) \cap C\) kümesinin elemanlarını bulalım:
• Bu küme, \(A \cup B\) kümesinde bulunan ve aynı zamanda C kümesinde de bulunan noktaları içerir. Yani, kırmızı elipsin (C) yeşil (A) veya mor (B) elipslerle kesiştiği bölgelerdeki noktalar.
• C kümesinin elemanları arasında, aynı zamanda \(A \cup B\) kümesinde de bulunan noktaları arıyoruz:
  • Sol orta nokta (A ve C'nin kesişiminde, dolayısıyla \(A \cup B\) içinde ve C içinde)
  • Sağ orta nokta (B ve C'nin kesişiminde, dolayısıyla \(A \cup B\) içinde ve C içinde)
  • Merkez nokta (A, B ve C'nin kesişiminde, dolayısıyla \(A \cup B\) içinde ve C içinde)
• Diğer C kümesi elemanları (sol alt ve sağ alt noktalar) A veya B kümelerinde bulunmadığı için \(A \cup B\) kümesinin elemanı değildir.
• Bu durumda, \((A \cup B) \cap C\) kümesinde 3 farklı nokta bulunmaktadır.
• Yani, \( |(A \cup B) \cap C| = 3 \).
• 4. Alt küme sayısını hesaplayalım:
• Bir kümenin eleman sayısı \(n\) ise, alt küme sayısı \(2^n\) formülü ile bulunur.
• Bizim durumumuzda \(n = 3\) olduğundan, alt küme sayısı \(2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\) olacaktır.

Cevap E seçeneğidir.