Sorunun Çözümü
- Sınıftaki toplam öğrenci sayısı $S = 34$'tür.
- Verilen koşullara göre, voleybol oynayan herkes futbol da oynar ($V \subseteq F$) ve basketbol oynayanlar voleybol oynamaz ($B \cap V = \emptyset$).
- Tüm öğrenciler en az bir oyunu oynadığı için $S = |F \cup V \cup B|$. $V \subseteq F$ olduğundan $F \cup V = F$. Dolayısıyla $S = |F \cup B|$.
- Verilen bilgilerden kümelerin büyüklüklerini bulalım:
- Futbol oynamayan 10 kişi varsa, futbol oynayanlar $|F| = 34 - 10 = 24$ kişidir.
- Basketbol oynamayan 15 kişi varsa, basketbol oynayanlar $|B| = 34 - 15 = 19$ kişidir.
- Voleybol oynamayan 27 kişi varsa, voleybol oynayanlar $|V| = 34 - 27 = 7$ kişidir.
- Kümelerin kesişim ve farklarını kullanarak bölgeleri tanımlayalım:
- Yalnız futbol oynayanlar ($a$): Sadece futbol oynayanlar kümesi.
- Voleybol oynayanlar ($b$): Voleybol oynayanlar aynı zamanda futbol oynar ve basketbol oynamaz ($V \subseteq F$ ve $B \cap V = \emptyset$). Bu küme $V$'dir.
- Futbol ve basketbol oynayanlar ($c$): Hem futbol hem basketbol oynayanlar, ancak voleybol oynamayanlar ($F \cap B \setminus V$). $B \cap V = \emptyset$ olduğundan bu küme $F \cap B$'dir.
- Yalnız basketbol oynayanlar ($d$): Sadece basketbol oynayanlar kümesi.
- Bu bölgelerle denklemleri oluşturalım:
- Toplam öğrenci: $a + b + c + d = 34$
- Futbol oynayanlar: $a + b + c = 24$
- Basketbol oynayanlar: $c + d = 19$
- Voleybol oynayanlar: $b = 7$
- Denklemleri çözerek yalnız futbol ($a$) ve yalnız basketbol ($d$) oynayanları bulalım:
- $b = 7$ değerini $a + b + c = 24$ denklemine yazarsak: $a + 7 + c = 24 \implies a + c = 17$.
- $a + b + c = 24$ değerini toplam öğrenci denklemine yazarsak: $24 + d = 34 \implies d = 10$. (Yalnız basketbol oynayanlar)
- $d = 10$ değerini $c + d = 19$ denklemine yazarsak: $c + 10 = 19 \implies c = 9$.
- $c = 9$ değerini $a + c = 17$ denklemine yazarsak: $a + 9 = 17 \implies a = 8$. (Yalnız futbol oynayanlar)
- Yalnız futbol oynayanlar ($a$) ve yalnız basketbol oynayanlar ($d$) toplamı: $a + d = 8 + 10 = 18$.
- Doğru Seçenek C'dır.