Verilen önermeleri tek tek inceleyelim:

• A) $\forall x, y \in \mathbb{Z}$, $x \cdot y \ge 0$

  Bu önerme, "Tüm tam sayılar $x$ ve $y$ için, çarpımları sıfırdan büyük veya eşittir" der. Bu doğru değildir. Örneğin, $x = 2$ ve $y = -3$ tam sayılardır. $x \cdot y = 2 \cdot (-3) = -6$. $-6 \not\ge 0$ olduğu için bu önerme yanlıştır.

• B) $\forall x, y \in \mathbb{N}$, $\frac{x}{y} > 0$

  Bu önerme, "Tüm doğal sayılar $x$ ve $y$ için, bölümleri sıfırdan büyüktür" der. Doğal sayılar kümesi $\mathbb{N}$ genellikle $\{1, 2, 3, ...\}$ veya $\{0, 1, 2, 3, ...\}$ olarak tanımlanır. Eğer $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, ...\}$ kabul edilirse, $y=0$ için $\frac{x}{y}$ tanımsız olacağından önerme doğru değildir. Eğer $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$ kabul edilirse, $x$ ve $y$ pozitif olduğundan $\frac{x}{y}$ her zaman pozitif olur. Ancak, genellikle bu tür sorularda bir önermenin doğru olması için her koşulda doğru olması beklenir. Tanımsızlık durumu önermeyi yanlış kılar. Bu nedenle, bu önerme yanlıştır.

• C) $\forall x \in \mathbb{Z}$, $x^2 - 3 > -4$

  Bu önerme, "Tüm tam sayılar $x$ için, $x^2 - 3$ ifadesi -4'ten büyüktür" der. Eşitsizliği düzenleyelim: $x^2 - 3 > -4$ $x^2 > -4 + 3$ $x^2 > -1$ Herhangi bir tam sayının karesi ($x^2$) her zaman sıfıra eşit veya sıfırdan büyüktür ($x^2 \ge 0$). Dolayısıyla, $x^2$ her zaman -1'den büyüktür. Örneğin, $x=0$ için $0^2=0 > -1$. $x=1$ için $1^2=1 > -1$. $x=-2$ için $(-2)^2=4 > -1$. Bu önerme her zaman doğrudur.

• D) $\exists x \in \mathbb{N}$, $x < 0$

  Bu önerme, "Öyle bir doğal sayı $x$ vardır ki, $x$ sıfırdan küçüktür" der. Doğal sayılar kümesi (tanımına göre) negatif sayı içermez. Bu nedenle, sıfırdan küçük bir doğal sayı yoktur. Bu önerme yanlıştır.

• E) $\forall x \in \mathbb{Z}$, $x^2 > 0$

  Bu önerme, "Tüm tam sayılar $x$ için, $x^2$ sıfırdan büyüktür" der. Bu doğru değildir. Örneğin, $x = 0$ bir tam sayıdır. $x^2 = 0^2 = 0$. $0 \not> 0$ olduğu için bu önerme yanlıştır. (Doğru olması için $x^2 \ge 0$ olmalıydı.)

Yukarıdaki analizlere göre, sadece C seçeneğindeki önerme doğrudur.

Cevap C seçeneğidir.