Merhaba 9. Sınıf öğrencisi!

Bu ders notu, "Niceleyiciler Test 1" konularını senin için özetliyor. Amacımız, bu konularda karşına çıkabilecek her türlü soruyu rahatlıkla çözebilmen için sağlam bir temel oluşturmak. Sınav öncesi son tekrarlarını yaparken bu notlardan faydalanabilir, eksiklerini tamamlayabilirsin. Haydi başlayalım!

1. Niceleyiciler ve Anlamları

Matematikte, bir önermenin belirli bir kümedeki tüm elemanlar için mi yoksa sadece bazı elemanlar için mi geçerli olduğunu belirtmek için niceleyiciler kullanırız. İki temel niceleyici vardır:

• Evrensel Niceleyici (Her, Bütün, Tüm):
  Sembolü "∀" şeklindedir. "Her x için", "Bütün x'ler için" veya "Tüm x'ler için" anlamına gelir. Bir önermenin belirtilen kümedeki her eleman için doğru olduğunu ifade eder.
• Varlıksal Niceleyici (Bazı, En az bir):
  Sembolü "∃" şeklindedir. "Bazı x'ler için", "En az bir x için" veya "Var olan bir x için" anlamına gelir. Bir önermenin belirtilen kümedeki en az bir eleman için doğru olduğunu ifade eder.

Sayı Kümeleri: Niceleyicilerle birlikte kullanılan sayı kümelerini iyi bilmek çok önemlidir:

• N: Doğal Sayılar (0, 1, 2, 3, ...)
• Z: Tam Sayılar (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...)
• Z+: Pozitif Tam Sayılar (1, 2, 3, ...)
• R: Reel (Gerçek) Sayılar (Tüm rasyonel ve irrasyonel sayıları kapsar, sayı doğrusundaki tüm noktalar)

💡 İpucu: Bir önermeyi sözelden sembolik ifadeye çevirirken veya tam tersini yaparken, niceleyiciyi (∀ veya ∃), sayı kümesini (N, Z, R vb.) ve koşulu (x > 1, x < 5 vb.) doğru eşleştirdiğinden emin olmalısın.

2. Önermelerin Değili (Olumsuzu)

Bir önermenin değilini (olumsuzunu) alırken hem niceleyiciyi hem de önermenin kendisini değiştirmemiz gerekir.

• Niceleyicilerin Değili:
  • (∀x, p(x))' ≡ (∃x, p'(x))
    (Her x için p(x) doğru değildir)
  • (∃x, p(x))' ≡ (∀x, p'(x))
    (Bazı x'ler için p(x) doğru değildir)
• İfadelerin Değili:
  • '>' (büyüktür) ifadesinin değili '≤' (küçük eşit)
  • '<' (küçüktür) ifadesinin değili '≥' (büyük eşit)
  • '=' (eşittir) ifadesinin değili '≠' (eşit değildir)
  • '≤' (küçük eşit) ifadesinin değili '>' (büyüktür)
  • '≥' (büyük eşit) ifadesinin değili '<' (küçüktür)
• Bileşik Önermelerin Değili (De Morgan Kuralları ve Koşullu Önerme):
  • (p ∧ q)' ≡ p' ∨ q'
  • (p ∨ q)' ≡ p' ∧ q'
  • (p ⇒ q)' ≡ p ∧ q' (Çok önemli! Bir koşullu önermenin değili, birinci önermenin kendisi ve ikinci önermenin değili ile "ve" bağlacıyla bağlanmasıdır.)

⚠️ Dikkat: Değil alma işlemlerinde hem niceleyiciyi hem de önermenin içindeki koşulu doğru bir şekilde değiştirdiğinden emin ol. Özellikle eşitsizlik işaretlerini karıştırmamaya özen göster!

3. Önermelerin Doğruluk Değeri

Bir niceleyici içeren önermenin doğru (1) veya yanlış (0) olduğunu belirlemek için şunlara dikkat etmeliyiz:

• (∀x, p(x)) önermesinin doğruluk değeri:
  • Bu önerme, p(x) koşulu belirtilen kümedeki her eleman için doğru ise 1'dir.
  • Eğer p(x) koşulunu sağlamayan en az bir eleman bile varsa, bu önerme 0'dır.
• (∃x, p(x)) önermesinin doğruluk değeri:
  • Bu önerme, p(x) koşulunu sağlayan belirtilen kümede en az bir eleman varsa 1'dir.
  • Eğer p(x) koşulunu sağlayan hiçbir eleman yoksa, bu önerme 0'dır.

⚠️ Dikkat: Doğruluk değerini belirlerken, önermede belirtilen sayı kümesinin (N, Z, R vb.) elemanlarını çok iyi bilmeli ve koşulu o küme içinde değerlendirmelisin. Örneğin, "x ∈ N, 2x+5=1" önermesi için doğal sayılarda çözüm olup olmadığına bakmalısın.

4. Koşullu Önermeler ve Karşıt Tersi

İki önermenin "ise" (⇒) bağlacıyla bağlanmasıyla oluşan önermelere koşullu önermeler denir. (p ⇒ q) şeklinde gösterilir.

• Karşıtı: q ⇒ p (Önermelerin yer değiştirmesi)
• Tersi: p' ⇒ q' (Önermelerin değillerinin alınması)
• Karşıt Tersi: q' ⇒ p' (Hem yer değiştirme hem de değillerinin alınması)

💡 İpucu: Bir koşullu önerme (p ⇒ q) ile onun karşıt tersi (q' ⇒ p') her zaman birbirine denktir, yani aynı doğruluk değerine sahiptirler. Bu bilgi, bazı soruları çözmende sana zaman kazandırabilir.

5. Açık Önermeler ve Doğruluk Kümesi

İçinde en az bir değişken bulunan ve bu değişkenlere verilen değerlere göre doğru ya da yanlış olan ifadelere açık önerme denir. Örneğin, "p(x): x bir çift sayıdır." bir açık önermedir.

Bir açık önermeyi doğru yapan değerlerin kümesine o açık önermenin doğruluk kümesi denir.

• Doğruluk kümesini bulmak için, verilen denklemi veya eşitsizliği çözmeli ve çözüm kümesinin, önermede belirtilen sayı kümesiyle (N, Z, R vb.) kesişimini almalısın.
• Örneğin, "p(x): x ∈ Z, x² < 9" açık önermesinin doğruluk kümesi, -3 < x < 3 eşitsizliğini sağlayan tam sayılardır. Bu durumda {-2, -1, 0, 1, 2} olur.

⚠️ Dikkat: Doğruluk kümesini belirlerken, değişkenin hangi sayı kümesine ait olduğunu (x ∈ Z, x ∈ N vb.) asla göz ardı etme. Bu, çözüm kümesini doğrudan etkiler!

Umarım bu ders notları, niceleyiciler konusundaki bilgilerini pekiştirmen ve sınavda başarılı olman için sana yardımcı olur. Bol pratik yapmayı unutma!